Описанные окружности

Дан остроугольный треугольник Известно что Точка — центр описанной окружности треугольника Вокруг треугольника описана окружность, которая пересекает сторону в точке
а) Докажите что треугольники подобны.
б) Найдите если

а) Пусть Тогда
— как центральный угол, опирающийся на ту же дугу что и вписанный
Угол как и угол опирается на дугу окружности, описанной около треугольника
Тогда и
У треугольников угол общий и равны по
Значит,
б) Из подобия треугольников следует, что
Таким образом, — биссектриса угла
Тогда

А из подобия треугольников имеем:

откуда

Итак,

Ответ:

Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону в точке
Диагонали и параллелограмма пересекаются в точке Окружность, описанная вокруг треугольника касается прямых и
а) Докажите, что
б) Отрезки и пересекаются в точке Найдите площадь четырёхугольника если

а) Так как окружность проходит через точки и и касается прямых
то точки и — это точки касания окружности с прямыми
Пусть и пересекаются в точке
По свойству отрезков касательных то есть треугольник — равнобедренный.
Углы и равны по условию,
а равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей
Отсюда следует равенство углов
Тогда треугольник — равнобедренный,
Имеем: треугольники равны по стороне (общая) и двум прилежащим углам:

Проведем высоту параллелограмма. Тогда то есть центр окружности принадлежит
Но тогда (или ) — не просто перпендикуляр к а серединный перпендикуляр к
а это влечет за собой, что
Следовательно, треугольник — не только равнобедренный, но и равносторонний.
А значит и треугольник — равносторонний, медиана в нем — и биссектриса.
Итак, то есть
б)
так как и
Тогда
значит

Ответ:

В треугольнике известны стороны На его стороне вне треугольника (точки и лежат в разных плоскостях относительно прямой построим равносторонний треугольник
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника

(как угол равностороннего треугольника).

Итак,
Значит, около четырёхугольника можно описать окружность.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть  — центр окружности, описанной около
Заметим, что  — и центр правильного т. е.  — биссектриса
Пусть
Заметим,  — биссектриса т. е.
Заметим,
по теореме косинусов:

Ответ:

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает сторону в точке Окружность с центром вписанная в треугольник касается отрезка в точке а прямая пересекает сторону в точке
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника если

а) Серединный перпендикуляр к  — биссектриса угла
Пусть Тогда где  — середина
Тогда, с учетом того, что получаем: И тогда
Итак, в четырехугольнике наблюдаем:

что говорит о том, около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Заметим, треугольник  — прямоугольный, так как
Пусть тогда
Из треугольника

Тогда
Замечаем,  — биссектриса угла
Из треугольника

Из треугольника
Тогда
По теореме Синусов для треугольника

Ответ:

Около треугольника описана окружность. Прямая где  — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке
а) Докажите, что
б) Найдите расстояние от точки до прямой если а радиус описанной окружности равен

a) Центр вписанной окружности в треугольник — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть
Тогда (как внешний угол треугольника
Между тем, (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).
Итак, а значит, треугольник  — равнобедренный,
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что треугольник  — равнобедренный.
Действительно, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). А значит, перпендикуляр опущенный из на пройдет через точку центр описанной окружности около треугольника (центр описанной окружности около треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника).
Далее,

(по свойству прямоугольного треугольника с углом в

Итак,
Ответ:

В остроугольном треугольнике из вершин и опущены высоты и на стороны и Известно, что площадь треугольника равна площадь треугольника равна а длина отрезка равна
а) Доказать, что треугольники и подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника

а) Пусть Тогда
Как известно, вершины треугольников, чьи гипотенузы совпадают, лежат на одной окружности. Тогда как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Но тогда
Итак, и  — общий для треугольников Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
б) Так как если коэффициент подобия треугольников то площади находятся в отношении то, учитывая, что замечаем, что коэффициент подобия треугольников равен и
По теореме синусов

где  — радиус окружности, описанной около
Тогда

Ответ:

В остроугольном треугольнике проведены высоты и
а) Докажите, что углы и равны.
б) Найдите длину отрезка если известно, что

а) Поскольку прямоугольные треугольники имеют общую гипотенузу, то все четыре точки и лежат на одной окружности (с центром в середине гипотенузы
Но тогда углы  — вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу А значит, они равны.
б) С одной стороны, по формуле Герона,

С другой стороны,

поэтому

Тогда

Наконец, по теореме косинусов для треугольника с учетом того, что имеем:

Ответ:

В остроугольном треугольнике проведены высоты и
а) Докажите, что углы и равны.
б) Вычислите длину стороны если известно, что периметр треугольника равен периметр треугольника равен а радиус окружности, описанной около треугольника равен

а) Заметим, так как треугольники имеют общую гипотенузу, то точки лежат на одной окружности.
Пусть тогда
А так как (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то и
Наконец,
Итак, Что и требовалось доказать.
б) Треугольники и подобны по второму признаку.
Помним, что периметры подобных треугольников находятся в отношении где  — коэффициент подобия.
Имеем:
С другой стороны, то есть
Заметим также, (по теореме Синусов для треугольника
Тогда откуда
Наконец,
Ответ:

Равносторонний треугольник вписан в окружность. На окружности отмечена точка не совпадающая ни с одной из точек и
а) Докажите, что расстояние от точки до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках и если известно, что его площадь равна а радиус окружности равен

а) Пусть  — между и Докажем, что
В остальных случаях рассуждения аналогичные.
Пусть  — радиус окружности, описанной около
Из треугольника  — центр по теореме Косинусов:

Из треугольника по теореме Косинусов:

Из треугольника по теореме Косинусов:

Тогда

то есть
Что и требовалось доказать.
б) Поскольку радиус окружности, описанной около равен то сторона a треугольника есть
Заметим,  — точка пересечения и
Имеем

При этом
Тогда Подставляем в

Наконец,

Ответ: