Использование монотонности, оценок
Сборник реальных заданий ЕГЭ №18 последних лет
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
не имеет решений.
Перепишем исходное уравнение следующим образом:
Рассмотрим функцию Заметим,
Дополнительные точки:
Строим график функции в системе координат См. рис. выше.
Уравнение на не имеет решений (а значит и исходное уравнение не будет иметь решений), если
Пусть
Рассмотрим функцию Заметим,
при
— точка минимума,Дополнительные точки:
Строим график функции в системе координат См. рис. выше.
Уравнение на не имеет решений (а значит и исходное уравнение не будет иметь решений), если
или
или
второе не равенство не имеет решений;
Ответ:
Найдите все значения параметра при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Перепишем исходное уравнение следующим образом:
На исходное уравнение тогда можно посмотреть вот так:
Пусть Заметим,
Построим в системе координат параболу на
Вершина —
Чтобы уравнение (*), а значит и исходное, имело решение, необходимо (см. рис.):
Рассмотрим функцию
На исходное уравнение тогда можно посмотреть вот так:
для любых —монотонно возрастающая функция.
ТогдаОткуда (*)
Пусть Заметим,
Построим в системе координат параболу на
Вершина —
Чтобы уравнение (*), а значит и исходное, имело решение, необходимо (см. рис.):
Ответ:
Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение
не имеет действительных решений.
Пусть Откуда
Уравнение принимает вид:
или
В силу нечетности синуса, можем переписать уравнение так:
Рассмотрим функцию
Тогда уравнение принимает вид
Функция определена при всех и .
Следовательно, функция монотонно возрастает на всей числовой прямой. Тогда уравнение
равносильно уравнению
Произведем обратную замену:
Уравнение не имеет действительных решений, если откуда
Ответ:
Найдите все значения параметра при которых любое решение уравнения
Принадлежит отрезку
Рассмотрим функцию
Функция возрастает (как сумма возрастающих функций) на области определения принимает значения от до
Функция возрастает (как сумма возрастающих функций) на области определения принимает значения от до
Тогда уравнение имеет единственное решение. А так как это решение должно принадлежать отрезку то необходимо:
и
Стало быть,
и
Откуда
и
Ответ: