Использование симметрии в решении заданий с параметрами

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Рассмотрим вторую строку системы:

Пусть

Перепишем исходную систему:

Будем искать значения при которых последняя система имеет два решения. Тогда и исходная система, в силу линейной замены, будет иметь два решения. Найдя легко вернемся к
При вторая строка последней системы принимает вид
При вторая строка системы принимает вид
Первая строка системы — семейство «галок» с вершиной если точнее, — два луча с общей вершиной в точке правый луч наклонен к оси абсцисс под углом левый — под углом
Пусть вершина той «галки» «правое крыло/луч» которой касается параболы Пусть вершина той «галки» «левое крыло/луч» которой касается параболы
Если вершина «галки» располагается между точками и то исходная система будет иметь два решения (одно «крыло» галки дает два пересечения с а второе ни одного).
Также, в силу симметрии конструкции, нас устроит расположение «галки» между точками и , симметричными соответственно точкам и относительно оси ординат.
Начнем с точки Необходимо, чтобы для Откуда
Перейдем к точке Необходимо, чтобы для Откуда
Очевидно, точкам и будут соответствовать значения
Итак, откуда

Ответ:

Известно, что значение параметра таково, что система уравнений

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра и решите систему при найденном значении параметра.

Рассмотрим первую строку системы:

Заметим, что если пара — решение системы, то пара также решение этой системы. А так как по условию система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара

Таким образом,

Из второго уравнения получаем:

Проверим, действительно ли система при найденных значениях имеет единственное решение.

Видим, что пара является единственным решением системы.

Система имеет три решения

Ответ: система имеет единственное решение при

Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения?