Расположение корней квадратного трехчлена

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Пусть
Тогда

См. рис 1.
Замечаем, что

будут давать два различных значения

будет давать бесконечно много значений

— нет подходящих

Исходное уравнение примет вид:

Требуем от него наличия одного корня, большего
Рассмотрим функцию

Нас устроят два случая (см. рис. 2)

Случай 1

Случай 2

при условии

при условии

откуда

Итак,

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Пусть
Тогда

См. рис 1.
Замечаем, что

будут давать два различных значения

будет давать бесконечно много значений

— нет подходящих

Исходное уравнение примет вид:

Требуем от него наличия одного корня, большего
Рассмотрим функцию

Нас устроят два случая (см. рис. 2).

Случай 1

Случай 2

при

при

откуда

Итак,

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Пусть

Замечаем, что
будут давать два различных значения
будет давать бесконечно много значений
— нет подходящих

Исходное уравнение примет вид:

Требуем от него наличия одного корня, большего

Рассмотрим функцию Нас устроят два случая:

Случай 1:

Случай 2:

откуда
Итак,

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Пусть
Тогда при всех То есть функция — возрастающая на области определения.
Заметим, функция нечётная, так как

на

Заметим,
Дополнительные точки:

Любому значению соответствует два значения
Чтобы исходное уравнение имело два корня, необходимо, чтобы уравнение

имело бы единственный корень.

Рассмотрим случай
— единственный корень, что нас устраивает.

Случай
Потребуем: для
То есть

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Тогда

Функция нечётная, так как

на

Замечаем (см. рис. 1), что
будут давать два различных значения
— одно значение
— нет подходящих
Исходное уравнение принимает вид:

Заметим, уравнение не может иметь два корня хотя нас бы это устроило.
Требуем от уравнения наличия только одного корня из промежутка
Заметим, что при уравнение имеем один корень что нас устраивает.
Рассмотрим случай
Рассмотрим функцию
Нас устроят случаи:
а) (см. рис. 2)

для при условии

То есть

при условии

при условии

б) (см. рис. 3)
Необходимо:

Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Пусть
Тогда

Замечаем, что
будет соответствовать единственное значение
будет давать бесконечно много значений
Исходное уравнение примет вид:

Требуем от него наличия двух корней, не равных
Рассмотрим функцию
Нас устроит случай:



Ответ:

Найдите все значения при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок

Так как всегда, то переходим к равносильному неравенству:

Пусть
Заметим, если то
Пусть
Хотим, чтобы решения неравенства содержали бы в себе отрезок (см. первый рис.).
Достаточно потребовать:

Используя метод интервалов, получаем

Ответ: