Карточки, доски
а) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?
б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно ?
в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно ?
Например, если исходный набор состоял из двух чисел и восемнадцати чисел то его среднее арифметическое было
46.
Пусть увеличили на все числа кромеТогда в новом наборе из двух десяток среднее арифметическое равно что меньше
б) Допустим, могло быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно
Пусть стёрто чисел (). Пусть ещё () чисел (из тех, что меньше ) были увеличены на Тогда среднее арифметическое нового ряда есть
откуда
При наблюдаем, что значит равенство не выполняется.
При наблюдаем, что значит равенство не выполняется.
Нет, не могло быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно
Заметим, откуда
Среднее арифметическое нового ряда чисел есть
Учтём, что
Наконец, учтём то, что
Приведён пример:
Ответ: а) да; б) нет; в)
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на ?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на ?
в) Найдите наибольшее возможное значение
встретятся три числа, кратные :
и четыре числа, кратные :
б) Если среди записанных чисел должно быть ровно чисел, кратных
то чисел, кратных должно быть как минимум
Первым в ряду должно встретиться число, кратное а не
Пусть
Увидим в ряду:
Тогда необходимо:
Из этого:
Получаем:
⇒ — противоречие.
Вывод: нет, не может быть ровно чисел, делящихся на
Ряд должен начинаться и заканчиваться числами, кратными
Максимальной длины он будет, если выглядит так:
Требования:
Из этого:
Рассмотрим случай
Тогда ряд выглядит так:
Пусть
Тогда
Итак, в ряду чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в)а) Можно ли за ходов создать пару, где одно из чисел равно
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали
а) За один ход сумма чисел увеличивается на
Действительно,или
Исходная сумма чисел и равна За ходов мы можем добраться до суммы Очевидно, мы не можем представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, одно из которыхб) Так как то можно организовать хода, что приведут пару к паре с суммой
Применим к паре чисел указанный ниже цикл раз:
Придем к паре сумма которой
Покажем, что вариант невозможен.
Заметим, изначально разность чисел равнялась Каждый ход меняет разность пары на Действительно,
или
То есть новая пара чисел не сможет в разности дать нулевой остаток при делении на то есть
Тогда максимальная сумма указанных чисел уже не а
Сможем сделать ходов? Да!
Первый ход:
Далее включаем указанный в пункте б) цикл
раз. Получим пару
Ответ: а) нет; б) в)
а) Может ли быть верным уравнение если
б) Может ли быть верным уравнение если
в) Найдите наибольшее число до для которого выполняется
б) Из условия видно, что первая цифра числа всегда
Кроме того, вторая цифра числа не меньше
Значит, какую бы цифру мальчики ни вычёркивали, останется всегда двузначное число, не меньше Но тогда что больше
Нет, указанное невозможно.
Жёлтые ячейки 1‑4 таблицы нам неинтересны. Первые слагаемые в них не меньше — первого слагаемого в разложении числа на разряды, то есть (равенство возможно в случае но нам этот случай вряд ли важен, когда мы ищем наибольшее число
Рассмотрим голубые ячейки 5 и 6.
Так как единственная возможность, чтобы левая часть была бы не отрицательной (ведь правая часть равенства не отрицательна) — это
Тогда откуда а если мы преследуем максимальное до
Итак,
или
Рассмотрим зелёную ячейку 9.Чтобы оставаться в пределах до по мы можем позволить лишь себе или но в этом случае меньше уже найденного
Рассмотрим бежевые ячейки 7‑8.
Необходимо (замечаем по первым слагаемым частей)
Тогда
а левая часть равна — нет решений.
Мы перебрали все возможные варианты.Итак, наибольшее число до для которого выполняется — это
Ответ: a) да; б) нет; в)
- раздел в разработке
а) Может ли быть синих карточек?
б) Может ли быть красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Пусть есть синих карточек. Тогда красных – штук.
Согласно условию сумма чисел с карточек равна
Упорядочим числа с синих карточек:
Упорядочим числа с красных карточек: Согласно условию
После увеличения чисел на синих карточках имеем:
a) Проверим, может ли быть синих карточек.
имеем
и
Откуда, вычитая из получаем:
и
Пусть и числа с синих карточек, например, такие:
Может быть синих карточек.
б) Проверим, может ли быть красных карточек.
имеем
и
Поскольку любое число на синей карточке больше, чем любое на красной, то самое маленькое возможное значение числа с синей карточки – это Даже если далее все числа с синих карточек отличаются, будучи упорядоченными, друг от друга на то их сумма оказывается как минимум то есть что противоречит условию.
Не может быть красных карточек.
Имеем
и
Откуда
Заметим, как уже нами было показано, синих карточек, как минимум, может быть Если их больше десяти, то
Откуда
Откуда
далее
Пусть Учитывая, что имеем:
Даже если то приходим к противоречию с тем, что
Пусть
Находится подходящий вариант:
и
Ответ: а) да; б) нет; в)
а) Может ли среднее арифметическое чисел быть равным
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел больше при этом сумма чисел уменьшилась более чем на
в) Пусть всего чисел а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел
а) или Так как по условию то Значит среднее арифметическое чисел не больше то есть не может быть равным
б) Могло так получиться, что среднее арифметическое чисел больше при этом сумма чисел уменьшилась более чем на
Например,
уменьшаем на (то есть на и заменяем на
уменьшаем на и заменяем на
При этом а сумма чисел уменьшилась на
Сумма чисел уменьшилась на
Так как то поскольку от есть то
Тогда, возвращаясь в получаем:
Среднее арифметического чисел равно для набора, в котором все числа – и первые чисел уменьшают на остальные чисел уменьшают на
Ответ: а) нет; б) да; в)
а) Может ли на доске быть чисел?
б) Может ли на доске быть чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
a) Да, на доске может быть чисел. Например,
б) Нет, на доске не может быть чисел.
Пойдем от противного. Допустим, на доске может быть чисел указанного вида.
Упорядочим числа ряда в порядке возрастания. Пусть
Очевидно, иначе
Также иначе
Итак, что для различных натуральных чисел невозможно.
Как мы уже замечали, предпоследнее число в ряду не может быт больше так как в этом случае произведение двух последних чисел ряда превысит Пусть предпоследнее число в ряду – это Тогда на роль последнего вполне можно взять
Ничто не мешает нам взять на роль первого, второго чисел ряда числа и
Итак, «выгодным» вариантом оказывается среди прочих вариант
Сумма ряда чисел в таком случае равна
Ответ: а) да; б) нет; в)
а) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться равным
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться меньше, чем
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения
a) Среднее арифметическое всех записанных чисел –
Пусть первая группа – вторая –
Тогда
То есть среднее арифметическое всех чисел оказалось равным
б) Пусть первая группа – вторая –
Тогда
То есть среднее арифметическое всех чисел оказалось меньше, чем
Пусть в первую группу попало чисел, тогда во вторую –
Согласно условию
Далее,
Заметим,
Очевидно, Тогда
Далее,
Итак, причем когда
Наименьшее значение принимает в случае, когда в первую группу попадает одна единица, во вторую – все остальные исходные числа.
Ответ: a) да; б) да; в)
а) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?
б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов.
а) Да, через несколько ходов на доске может оказаться два одинаковых числа. Например,
б) Нет.
Действительно,
Разность чисел, кратных кратна
А также, производя последовательное деление на (пока есть возможность) числа, кратного мы получим в итоге не менее
То есть числа меньше, чем на доске мы не увидим. Покажем, что можем увидеть.
Вернемся к нашему ряду:
Ответ: а) да; б) нет; в)