Последовательности, числа, ряды

а) Да, например:

в) По замеченному в пункте б) понимаем, что наименьшим числом не может оказаться так как числа и имеют разные остатки при делении на

а) Пусть наше трёхзначное число —

Заметим, все цифры числа не равны нулю и число кратно стало быть,

Имеем:

Пусть, например, Тогда

Итак,

б) Допустим,

тогда

Заметим, правая часть отрицательна, а левая положительна, что невозможно.

Указанное в условии частное не может быть равно

Но не делится на Противоречие.

Не существует такой прогрессии, среди чисел которой ровно три числа делятся на

а) Так как то корнями могут быть только числа и Тогда

б) Допустим, неравенства и выполняются.

Заметим,

Итак, что противоречит допустимому условию

Указанные в условии неравенства одновременно выполняться не могут.

а)

б) Так как рассмотрим возможность получить

Заметим, если дробь несократима, то и дробь несократима.

Действительно,

Тогда

что невозможно для натуральных

или

a) Попробуем подобрать подходящую последовательность из ста членов, которая бы содержала только пять чисел.

Пусть она, например, такова:

При этом

Итак, подойдет, например, следующая последовательность из ста чисел:

б) Если -м оказалось число то что невозможно (последовательность состоит из натуральных чисел), либо что допустимо.

Опять же, рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и так далее.

Итак,

– не интересна последовательность;

– не интересна последовательность;

– не интересна последовательность;

– не интересна последовательность;

– не интересна последовательность;

– не интересна последовательность.

a)

Так как то

Пусть, например, тогда то есть

б) Допустим, существуют двузначные натуральные числа и такие, что

Тогда

Согласно условию поэтому

Для натуральных чисел последнее равенство невозможно. Пришли к противоречию.

Пусть данное число – и не равны нулю одновременно).

a)

Левая часть кратна значит и правая часть делится на Поскольку не кратно то должно делиться на

Равенство возможно только, если и (при условии, – не ноль).

Пусть Число при делении на дает

б)

Левая часть равенства не больше а правая при ненулевых одновременно – не меньше

Если же то примет вид:

При натуральных решений у последнего равенства нет. При правая часть не меньше а левая – не больше

Если то примет вид:

При натуральных решений у последнего равенства нет. При правая часть не меньше а левая – не больше

Частное данного числа и суммы его цифр быть равным не может.

a) Если то ровно одно из чисел – четное, остальные три – нечетные. Но сумма трех нечетных и одного четного слагаемых не может дать четную величину;

Указанные равенства выполняться не могут.

б) Если то

1) либо ровно два из чисел – четные, остальные пять – нечетные. Но сумма пяти нечетных и двух четных слагаемых не может дать то есть четную величину;

2) либо ровно одно из чисел четное ( по модулю или или или

Если одно из чисел по модулю – то остальные шесть по модулю – из множества Даже если взять вариант мы не получим в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – то остальные шесть по модулю – из множества Даже если взять вариант мы не получим в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – то остальные шесть по модулю – из множества Даже если взять вариант мы не получим в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – то остальные шесть по модулю – из множества Очевидно, вариант, когда одно из чисел равно нет смысла рассматривать. Если одно из семи чисел равно то тогда сумма шести оставшихся должна равняться нулю, что возможно, когда половина из чисел – есть В этом случае произведение всех семи чисел отрицательно.

Указанные равенства выполняться не могут.

a) Пусть – сумма цифр десятков записанных на листочке чисел, а – сумма цифр единиц чисел.

Тогда

После того, как в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры сумма получившихся чисел оказалась равна то есть

Тогда

Составим и решим систему из уравнений

Пусть тогда

То есть исходные числа таковы:

(число в ряду прописано раз).

б) Допустим, сумма получившихся чисел может быть ровно в раза меньше, чем сумма исходных чисел.

Тогда

Откуда

что невозможно, так как не делится нацело на

Сумма получившихся чисел не может быть ровно в раза меньше, чем сумма исходных чисел.

a) Пусть – суммы чисел в группах.

При сложении шести указанных модулей в результате может получиться ноль только в одном случае, – когда все шесть модулей – нули.

Поэтому

что означает, что

Но тогда то есть или что невозможно для натурального

Нуля в результате указанных действий получиться не может.

б) При сложении шести модулей в результате может получиться единица только в одном случае – когда пять модулей – нули и один модуль – единица. Это будет означать, что только одно из значений – единица, а остальные – ноль.

Но это невозможно – если один из модулей – единица, то это повлечет за собой и то, что хотя бы три разности из – не нули, то есть

Единицы в результате указанных действий получиться не может.

1) и

2) и

a) Пусть сумма всех штук данных чисел равна Пусть – первый член данной прогрессии, – шаг прогрессии.

Тогда

Пусть Имеем

Если то имеем следующий ряд чисел:

Это арифметическая прогрессия сумма которой равна

б) Пусть – наибольшее количество чисел данного ряда.

Тогда

Очевидно,

Поэтому

Так как то наибольшее натуральное значение отвечающее неравенству – это

Сумма ряда равна (а уже у ряда – сумма будет

Пусть где и

По условию потому

a)

Наибольшее значение при различных ненулевых и примет, очевидно, если

Наибольшее значение выражения таким образом –

б)

Для того, чтобы принимало наименьшее значение, следует подобрать числа и так, чтобы и при этом – наименьшее из возможных значений (то есть

Тогда

На роль могут подойти в этом случае числа

2)

Пусть – данное двузначное число

Тогда

а) Согласно условию То есть

Стало быть, варианты подходящих двузначных чисел таковы:

б) Пусть частное данного числа и суммы его цифр –

если заданное число –

если заданное число –

если заданное число, например,

если заданное число –

если заданное число –

если заданное число, например,

если заданное число –

если заданное число –

если заданное число, например,

а) –я группа начинается с -го числа.

Тогда n-я группа выглядит так:

Найдем сумму чисел –ой группы:

Итак, сумма чисел в десятой группе – то есть

б) Сумма чисел в сотой группе – то есть

a) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на нельзя. Ведь это бы означало, что сумма всех чисел кратна трем, а это не так.

б) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на можно.

Например, такие группы:

a) Так как последовательность – возрастающая, состоящая из различных натуральных чисел, то пусть где

Тогда

Удобно взять

Получаем, например, следующую последовательность пяти членов:

б) Как мы уже заметили, для

Так как то

Допустим, что для выполняется

Тогда

– противоречие.

Нет, в указанной последовательности при некотором не может выполняться равенство

а) Да, например,

б) Да, например,

Как быстрее «отловить» подходящий вариант? Например, так.

Пусть – натуральные).

Тогда

Пусть

Тогда

Слева – число (кроме всего прочего) – кратное (одно из двух последовательных чисел обязательно четно). Значит и кратно Но тогда оба числа – четные. Тогда левая часть кратна и Также учитываем коэффициент правой части – получаем, что обе части кратны Числа ищем среди пар вида Останавливаемся на варианте Итак,

и

и

Чтобы число делилось на необходимо, чтобы оно делилось и на и на Число делится на если сумма его цифр делится на Но по условию сумма цифр числа делится на

Так как сумма цифр числа делится на то эта сумма может принимать только значения или (сумма цифр пятизначного числа не может быть больше

Заметим также, что число делится на если две его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на (признак делимости на

Итак, условие можно заменить на следующее:

«Сумма цифр числа равна или или при этом последние две цифры числа – либо нули, либо образуют число, которое делится на

a) Да, могут все пять цифр в записи числа быть различными.

Например,

б) Покажем, что наименьшее возможное число – это

В наших интересах взять такое число, чтобы сумма его цифр была бы равна

Действительно, например, в случае, если сумма цифр числа равна (а мы преследуем цель получить наименьшее число то есть первые три цифры, желательные для нас – это то на сумму двух последних цифр будет приходиться что невозможно.

Итак, взяв в качестве первых трех цифр на сумму двух последних мы оставляем Чтобы число делилось на необходимо, чтобы оно заканчивалось двумя нулями либо число, образованное двумя последними цифрами числа делилось бы на Первый вариант нас не устраивает. Варианты двузначных чисел, кратных сумма цифр которых равна – это Из двух чисел меньшее –

или или

или или

а) Покажем, что шести одинаковых цифр, стоящих рядом, не может содержаться в записи данного многозначного числа.

Начнем с большей части чисел – с трехзначных. Если допустить, что идет подряд одинаковых цифр, то мы увидим в ряду два одинаковых трехзначных числа, – противоречие.

Среди двузначных (а также однозначных) чисел тем более не стоит искать подряд идущих одинаковых цифр. На стыке однозначных/двузначных, двузначных/трехзначных и трехзначных/ мы, очевидно, не можем наблюдать подряд идущих одинаковых цифр.

Пример с -ю подряд идущими цифрами:

Наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, в записи данного числа –

б) Разобьем цифры исходного многозначного числа на группы и посчитаем количество цифр в каждой группе:

цифр);

цифр);

цифр);

цифры).

Итак, данное многозначное число содержит в записи цифр.

а) Да, сумма нескольких попарно различных дробей вида может быть целым числом, например,

б) Нет, сумма двух различных дробей вида не может равняться дроби вида

Допустим, сумма имеет вид

Посмотрим, будет ли для полученной суммы разность знаменателя и числителя равняться

(на при условии, что различны).

Нет.