Справочные материалы

Гипербола

Функцию вида

(где )

называют обратной пропорциональностью.

В школьной математике график данной функции называют гиперболой.
Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.

Главная особенность — переменная стоит в знаменателе. Из этого автоматически следует:

при функция не определена;
график не является непрерывным.

Пример
Построим график функции
Заполним таблицу значений:

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

У этого графика:

вертикальная асимптота
горизонтальная асимптота
симметрия относительно начала координат.

Чем ближе к нулю, тем быстрее растёт или убывает
Чем дальше от нуля, тем ближе график к оси но он её никогда не пересечёт.

Почему гипербола не пересекает оси координат

Это прямое следствие формулы.

Чтобы пересечь ось , нужно подставить — нельзя.
Чтобы пересечь ось , нужно, чтобы а дробь не может быть равна нулю при

Как коэффициент влияет на вид гиперболы

Знак

ветви в I и III четвертях
ветви во II и IV

Модуль

большое по модулю — график дальше от осей;
маленькое по модулю — график ближе к осям.

Гипербола со смещением

Графиком функции где

является гипербола со смещением. Ее асимптотами являются прямые

Как построить гиперболу со смещением

Построение графика функции начинается с построения асимптот

Далее строится гипербола в новой системе координат, образованной построенными асимптотами (начало координат — точка пересечения асимптот).

Пример

Построим график функции

Строим асимптоты: В новой системе координат, образованной указанными асимптотами, строим основу (построение — см. выше).

Задачи на тему «Гипербола»

открыть