Схемы равносильных переходов в иррациональных неравенствах

Какая информация скрыта в самом уравнении?
Очевидно, что и
Возводя в квадрат обе части уравнения, мы выйдем на новое уравнение, – при этом мы сохраним информацию, заложенную в исходном уравнении.
Получаем равносильную систему:

Обратите внимание, – мы вольны выбрать лишь одно из неравенств! Скажите, зачем нам писать еще и если и мы уже сказали, что
Оставляйте наиболее выгодное (простое) неравенство!
Итак,

Решением данной системы, а значит и исходного уравнения, является число
Ответ:

Данное уравнение равносильно системе:

(Нет смысла указывать, что еще и Раз правая часть уравнения системы неотрицательна и мы сказали, что в левой части один из множителей неотрицателен, то и второй автоматически неотрицателен). Выбирайте любое из неравенств!)

Откуда

Итак,
Ответ:

Перепишем уравнение следующим образом:

Что мы видим?
Подкоренное выражение неотрицательно.
А так как левая часть уравнения не отрицательна, то и
Вот эту информацию мы должны сохранить при преобразовании основного уравнения.
Поэтому переходим к следующей, равносильной системе:

У вас не возникло вопроса, почему мы не указали в системе На самом деле об этом в системе сказано! Ведь есть а квадрат не может быть отрицательным.
Итак,


Решение системы – число
Ответ:

Перепишем уравнение так:

Мы не будем сокращать обе части уравнения на Это может грозить потерей корней.
Выход такой (вынесение за скобку общего множителя):

Переходим к совокупности:

Обратите внимание – уравнение должно быть подчинено условию
Можно сказать так:
«Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда первый множитель равен нулю при условии, что второй существует, или второй множитель равен нулю при условии, что первый существует».
Возвращаемся к совокупности.
Корень уравнения не удовлетворяет неравенству
Поэтому совокупность равносильна уравнению

Откуда

или

Ответ:

Перепишем уравнение следующим образом:

Обе части этого уравнения на его области определения принимают неотрицательные значения.
Возведем в квадрат обе части:

Это уравнение равносильно исходному.
Далее

Откуда

Ответ:

Выгодно переписать уравнение вот так:

Возводим обе части уравнения в квадрат, переходим к системе, равносильной исходному уравнению:

Система равносильна уравнению:

Если мы уже указали, что и при этом у нас правая часть равенства неотрицательна, то вытекает автоматически.
(Точно также мы могли бы указать лишь и не указывать, что

Ответ:

После разложения на множители каждого подкоренного выражения имеем:

Конечно же, мы замечаем одинаковый множитель в подкоренных выражениях. Как это использовать?
Только будьте осторожны! Нельзя расщеплять корень такого вида на Это верно только в случае
Рассмотрим три случая:
1)
является корнем исходного уравнения.
2)
Тогда
Или (после деления на обеих частей)

Откуда

При уравнение не имеет решений, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.
Рассмотрим третий случай.
3)
Тогда

Или (после деления на обеих частей)

Уравнение не имеет корней, так как слева – отрицательная величина, справа – неотрицательная.
Итак, решением исходного уравнения является (из случая (1)).
Ответ:

Рассмотрим еще один полезный прием.
Домножим обе части уравнения на
Но, обратите внимание, эта разность обращается в нуль при (но – не есть корень исходного уравнения).
Поэтому, чтобы в дальнейшем вдруг не получить посторонние корни, потребуем, чтобы

Поскольку сократим на x обе части уравнения, перейдем к равносильному уравнению:

Возводим в квадрат обе части равенства:

Уравнение корней не имеет.
Ответ: решений нет.

Как и в предыдущем задании домножим обе части уравнения на сопряженное к левой части уравнения выражение.

или

Это уравнение равносильно исходному.
Возьмем теперь, и сложим исходное уравнение и последнее:

При этом надо понимать, что
То есть имеем систему:

Тогда

Ответ:

Перепишем уравнение вот так:

А теперь и так:

Напрашивается замена:

Обратная замена:

или

Ответ:

не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на

Замена:
Пусть

Обратная замена:

Ответ:

Замена:

Тогда

Ко второй строке применяем формулу «сумма кубов» и учитываем первую строку во второй:

Вторую строку сворачиваем в квадрат суммы:

Обратная замена:

Ответ:

Возведем обе части в квадрат:

Обратите внимание, что при этом а также
То есть перед нами система

Выйдем на время из системы и решим уравнение через замену переменной:
Тогда имеем:

при этом (см. последнее неравенство системы);

Обратная замена:

Найденный корень удовлетворяет исходной системе.
Ответ:

Выделим полный квадрат под корнями:

Тогда
Стало быть,

Нам предстоит раскрыть модули.
У нас три случая:
1) то есть
2) то есть
3) то есть
Итак,

Откуда
Ответ:

Решить уравнения:
1.
Ответ:

2.
Ответ:

3.
Ответ: нет корней.

4.
Ответ:

5.
Ответ:

6.
Ответ:

7.
Ответ:

8.
Ответ:

9.
Ответ:

10.
Ответ:

11.
Ответ:

12.
Ответ:

13.
Ответ:

14.
Ответ: