Рациональные уравнения, решаемые через замену переменной

Замечаем, что уравнение можно переписать следующим образом:

Напрашивается замена:
Имеем:

или

Тогда обратная замена:

или

или

или

Ответ:
Можно было бы оформить решение и так, чуть короче:

или

или

или

Ответ:

Перепишем уравнение следующим образом:

Тогда напрашивается замена:
Имеем:

или

Обратная замена:

или

или

или

Ответ:

Перепишем уравнение следующим образом:

Имеем квадратное уравнение относительно (Не будем делать замену переменной (см. второй вариант оформления задачи 1)).

Первое уравнение не имеет корней.

Ответ:

Замена переменной: тогда
Имеем:

Домножаем обе части равенства на

Обратная замена:

Первое уравнение совокупности не имеет решений. Решаем второе уравнение:

Ответ:

Замена:

Обратная замена:

Ответ:

Разделим обе части уравнения на (заметим,

Напрашивается замена:

Обратная замена:

Данная совокупность равносильна следующему уравнению (только второе уравнение имеет корни):

Ответ:

Перемножим первую скобку и последнюю, вторую и третью:

Напрашивается замена:

Обратная замена:

Совокупность равносильна уравнению:

Откуда

Ответ:

Заметим, не является корнем уравнения, поэтому разделим числитель и знаменатель каждой дроби из левой части уравнения на

Замена:

Домножаем обе части уравнения на

Обратная замена:

Совокупность равносильна уравнению:

Ответ:

Перепишем уравнение следующим образом:

Замечаем, что первые четыре слагаемые можно свернуть в куб разности:

Ответ:

Прибавим к обеим частям равенства

Тогда левую часть уравнения можно свернуть в квадрат разности:

Замена:

Обратная замена:

Откуда

Ответ:

Замена:
Пусть
Тогда

или

Откуда

Обратная замена:

Ответ:

Замена:

Обратная замена:

Откуда

Ответ:

Решить уравнения:
1.

Ответ:


2.

Ответ:


3.

Ответ:


4.

Ответ:


5.
Ответ: нет решений.


6.

Ответ:


7.

Ответ:


8.

Ответ:


9.

Ответ:

10.

Ответ:

11.

Ответ: