Справочные материалы
Деление многочленов уголком, схема Горнера и теорема Безу
Зачем вообще делить многочлены?
Это умение нужно для упрощения выражений, разложения на множители, решения уравнений, доказательств.
Так вот, существуют три связанных инструмента:
Это умение нужно для упрощения выражений, разложения на множители, решения уравнений, доказательств.
Так вот, существуют три связанных инструмента:
- деление многочленов уголком,
- схема Горнера,
- теорема Безу.
Деление многочленов уголком
Аналогично делению чисел уголком: пошагово «вычитаем» из делимого кратные делителя, начиная со старших членов.
Пример 1
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
И так далее…
В итоге:
В итоге:
В нашем примере деление произошло нацело, без остатка.
Пример 2
Разделим многочлен на двучлен
Обратим внимание, что в делимом отсутствуют степени .
Значит, прежде чем выполнять деление "уголком", запишем многочлен в виде:
Разделим многочлен на двучлен
Обратим внимание, что в делимом отсутствуют степени .
Значит, прежде чем выполнять деление "уголком", запишем многочлен в виде:
Получаем:
Пример 3
Разделим многочлен на двучлен
Разделим многочлен на двучлен
В остатке получили
То есть
То есть
Схема Горнера
Если делим многочлен на можно использовать схему Горнера — быстрый и компактный способ.
Рассмотрим как работает схема на конкретном примере:
Разделим на
Чертим таблицу из двух строк. Количество столбцов — на два больше степени многочлена. В нашем случае пять столбцов.
Рассмотрим как работает схема на конкретном примере:
Разделим на
Чертим таблицу из двух строк. Количество столбцов — на два больше степени многочлена. В нашем случае пять столбцов.
- Расставляем коэффициенты многочлена в верхней строке таблицы, начиная со второго столбца.
- Во второй строке записываем в крайнюю левую (оранжевую) ячейку
- Старший коэффициент, в нашем случае сносим (копируем) в ячейку под ним.
Далее снесенный только что коэффициент, в нашем случае умножаем на и прибавляем второй коэффициент многочлена, то есть
Далее
Аналогично
Числа красных ячеек показывают коэффициенты частного, число зеленой ячейки — остаток.
Итак,
Рассмотрим еще один пример.
Разделим многочлен на одночлен Выше мы уже рассматривали этот пример, “делили уголком”.
Теперь пройдемся через схему Горнера.
Также обращаем внимание, что в делимом отсутствуют степени .
Значит, прежде чем заполнять верхнюю строку таблицы по схеме Горнера коэффициентами, запишем многочлен в виде:
Заполняем таблицу:
Разделим многочлен на одночлен Выше мы уже рассматривали этот пример, “делили уголком”.
Теперь пройдемся через схему Горнера.
Также обращаем внимание, что в делимом отсутствуют степени .
Значит, прежде чем заполнять верхнюю строку таблицы по схеме Горнера коэффициентами, запишем многочлен в виде:
Заполняем таблицу:
Получаем:
Теорема Безу
А можно ли, не выполняя деление "уголком" (или через схему Горнера) многочлена на двучлен выяснить, будет ли деление с остатком или нацело? Ответ на этот вопрос даёт теорема Безу.
Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению этого многочлена при то есть равен
И следствие
Многочлен делится без остатка на тогда и только тогда, когда
Пример 1
Найдём остаток от деления многочлена на одночлен
Воспользоваться теоремой Безу, представив прежде одночлен в виде откуда понимаем, что
Найдем значение данного многочлена при
Пример 2
Разложим на множители многочлен
Найдём подбором какой-нибудь корень трехчлена. Ищем среди делителей свободного члена. Замечаем, является корнем, так как Значит, многочлен делится нацело на
Пойдем по схеме Горнера:
Найдём остаток от деления многочлена на одночлен
Воспользоваться теоремой Безу, представив прежде одночлен в виде откуда понимаем, что
Найдем значение данного многочлена при
Итак, искомый остаток равен
Пример 2
Разложим на множители многочлен
Найдём подбором какой-нибудь корень трехчлена. Ищем среди делителей свободного члена. Замечаем, является корнем, так как Значит, многочлен делится нацело на
Пойдем по схеме Горнера:
Итак,
Ответы:
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)