Теория вероятностей. Часть 2
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
-
НесовместныеБросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны -
СовместныеБросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события
Совместные события
Событиепри броске игрального кубика выпадает четное число
Событие
при броске игрального кубика выпадает число, большее
При выпадении реализуются оба события.
Несовместные события
Событиепри броске игрального кубика выпадает четное число
Событие
при броске игрального кубика выпадает число, меньшее
События и произойти одновременно не могут.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий.
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления.
- Несовместные
- Совместные
Сумма совместных событий
Найдем вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет четное число или число, большее
Событие при броске игрального кубика выпадает четное число:
Событие при броске игрального кубика выпадает число, большее :
При выпадении реализуются оба события:
Конечно, мы могли проще найти искомую вероятность.
Благоприятные варианты из шести возможных — выпадение
Но на этом простом примере мы разобрали как работает формула сложения вероятностей совместных событий.
Сумма несовместных событий
Найдем вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет или
СобытиеСобытие
События и произойти одновременно не могут:
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события и называют зависимыми
-
НезависимыеНапример, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем и на втором – независимые события -
ЗависимыеНапример, если вы вытаскиваете карту из колоды, а затем вытаскиваете вторую карту, не вернув первую, то вероятность вытянуть туза во второй раз зависит от того, был ли туз вытянут в первый раз. Если в первый раз вы вытянули туза, то вероятность вытянуть туза во второй раз уменьшится
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий
- НезависимыеЕсли происходят два независимых события и с вероятностями соответственно то вероятность реализации события и одновременно равна произведению вероятностей:
- ЗависимыеВероятность произведения зависимых событий и вычисляется как произведение вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло. Формула выглядит следующим образом: где — условная вероятность события при условии, что событие уже произошло
Примеры решения задач