Задание №2. Вектора

Длина вектора $\vec{AC}$ – длина диагонали $AC.$

$|\vec{AC}|=|AC|=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13.$

Ответ: $13.$

$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.$ 

$|\vec{AC}|=|AC|=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13.$

Ответ: $13.$

$\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{DA}=\vec{DA}+\vec{AB}=\vec{DB}.$ 

$|\vec{DB}|=|DB|=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13.$

Ответ: $13.$

$\vec{AB}\cdot \vec{AD}=|\vec{AB}|\cdot |\vec{DA}|\cdot cos\angle (\vec{AB};\vec{AD})=|\vec{AB}|\cdot |\vec{DA}|\cdot 0=0.$ 

Ответ: $0.$

$\vec{AO}+\vec{DO}=\vec{AO}+\vec{OB}=\vec{AB}.$ 

$|\vec{AB}|=|AB|=5.$

Ответ: $5.$

$\vec{AO}-\vec{DO}=\vec{AO}+\vec{OD}=\vec{AD}.$ 

$|\vec{AD}|=|AD|=12.$

Ответ: $12.$

Диагонали ромба делятся пополам точкой пересечения (назовем ее О).

Диагонали ромба помимо этого перпендикулярны.

$|\vec{AD}|=|AD|=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.$

Ответ: $10.$

$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.$ 

$|\vec{AC}|=|AC|=16.$

Ответ: $16.$

$\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{DA}=\vec{DA}+\vec{AB}=\vec{DB}.$ 

$|\vec{DB}|=|DA|=12.$

Ответ: $12.$

$\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CA}=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}.$ 

$|\vec{CB}|=|CB|=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Ответ: $10.$

$\vec{AO}+\vec{BO}=\vec{AO}+\vec{OD}=\vec{AD}.$ 

Треугольник ADO – прямоугольный, $AO=8,DO=6.$

$|\vec{AD}|=|AD|=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Ответ: $10.$

$\vec{AO}-\vec{BO}=\vec{AO}+\vec{OB}=\vec{AB}.$ 

Треугольник ABO – прямоугольный, $AO=8,BO=6.$

$|\vec{AB}|=|AB|=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Ответ: $10.$

Заметим, диагонали ромба перпендикулярны, значит косинус угла между ними равен нулю.

$\vec{AO}\cdot \vec{BO}=|\vec{AO}|\cdot |\vec{BO}|\cdot cos\angle (\vec{AO};\vec{BO})=|\vec{AO}|\cdot |\vec{BO}|\cdot 0=0.$ 

Ответ: $0.$

По правилу сложения векторов (правило параллелограмма) сумма  векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ есть вектор $AD$, где $ABCD$ – параллелограмм (так как треугольник  $ABC$ – правильный, то $ABCD$ – ромб).

 Длина $AD$ есть удвоенная длина медианы правильного треугольника $ABC$.

Медиана правильного треугольника со стороной $46\sqrt3$ есть

$\sqrt{(46\sqrt3)^2-(\frac{46\sqrt3}{2})^2}=\sqrt{\frac{3(46\sqrt3)^2}{4}}=69.$

Поэтому длина вектора $\vec{AD}$ есть $138.$

Ответ: 138. 

$\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CA}=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}.$ 

$|\vec{CB}|=|CB|=4.$

Ответ: $4.$

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|\cdot cos\angle (\vec{AB};\vec{AC})=4\cdot 4\cdot cos 60^{\circ}=16\cdot \frac{1}{2}=8.$ 

Ответ: $8.$

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Пусть координаты точки $B(x;y)$. Тогда $0=x-12$  и $5=y-1.$

Нас интересует только абсцисса точки. Она равна $12.$

Ответ: 12. 

Пусть координаты точки $A(x;y)$. Тогда $3=5-x$  и $1=4-y.$

Откуда $x=2,y=3.$

Значит $x+y=5.$

Ответ: $5.$

Длина вектора $\vec{a}(a_1;a_2)$ есть $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$

Поэтому в нашем случае

$|\vec{a}|=\sqrt{(-24)^2+10^2}=26.$

Ответ: 26. 

$\vec{AB}(8-2;6-4),$ то есть $\vec{AB}(6;2).$

Длина вектора $\vec{a}(a_1;a_2)$ есть $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$

Поэтому в нашем случае

$|\vec{AB}|=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}.$

$|\vec{AB}|^2=40.$

Ответ: 40.

Координаты вектора $\vec{a}$: $(2-0;6-0)=(2;6).$

Координаты вектора $\vec{b}$: $(8-0;4-0)=(8;4).$

Тогда  координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$ есть $(2+8;6+4)=(10;10).$

А сумма координат вектора $\vec{a}+\vec{b}$ равна 20.

Ответ: 20.

В предыдущей задаче мы находили координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a}(2;6),\;\vec{b}(8;4).$

Тогда координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}$ есть $(2-8;6-4)=(-6;2).$

Длина вектора $\vec{a}-\vec{b}$ есть $\sqrt{(-6)^2+2^2}=\sqrt{40}.$

Тогда квадрат длины есть  $40.$

Ответ: 40.

$\vec{a}(2;6),\;\vec{b}(8;4).$

Тогда cкалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 8+6\cdot 4=40.$

Ответ: 40.

$\large cos \angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}.$

Имеем:

$\vec{a}(2;6),\;\vec{b}(8;4).$

Тогда

$\large cos \angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{2\cdot 8+6\cdot 4}{\sqrt{2^2+6^2}\cdot\sqrt{8^2+4^2}}=\frac{40}{\sqrt{40}\sqrt{80}}=\frac{\sqrt2}{2}.$

Тогда

$\angle (\vec{a};\vec{b})=45^{\circ}.$

Ответ: 45. 

Координаты вектора $\vec{a}$: $(3-2;5-2)=(1;3).$

Координаты вектора $\vec{b}$: $(5-1;3-1)=(4;2).$

Тогда  координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$ есть $(1+4;3+2)=(5;5).$

А сумма координат вектора $\vec{a}+\vec{b}$ равна $10.$

Ответ: $10.$

$\vec{a}(1;3),\;\vec{b}(4;2).$

Тогда координаты вектора $\vec{a}-\vec{b}$ есть $(1-4;3-2)=(-3;1).$

Длина вектора $\vec{a}-\vec{b}$ есть $\sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{10}.$

Тогда квадрат длины есть  $10.$

Ответ: 10.

$\vec{a}(1;3),\;\vec{b}(4;2).$

Тогда cкалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 4+3\cdot 2=10.$

Ответ: 10.

$\large cos \angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}.$

Имеем:

$\vec{a}(1;3),\;\vec{b}(4;2).$

Тогда

$\large cos \angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{1\cdot 4+3\cdot 2}{\sqrt{1^2+3^2}\cdot\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}\sqrt{20}}=\frac{\sqrt2}{2}.$

Тогда

$\angle (\vec{a};\vec{b})=45^{\circ}.$

Ответ: 45. 

Пусть $\vec{m}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}.$

Тогда $\vec{m}(1-(-3)+4;2-6+(-2)),$ то есть $\vec{m}(8;-6).$

Стало быть, $|\vec{m}|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10.$

Ответ: 10.

Пусть $A(3; 5), B(3; 8), C(7; 8), D(7; 5).$

Диагонали прямоугольника равны. Возьмем, например, диагональ $AC.$

$\vec{AC}(4;3).$

Тогда $|\vec{AC}|=\sqrt{4^2+3^2}=5.$

Ответ: 5.

$\vec{a}(-1;4),$ $\vec{b}(3;1),$ $\vec{c}(-7;2).$

$k\vec{a}(-k;4k),$ $l\vec{b}(3l;l).$

Тогда вектор $k\vec{a}+l\vec{b}$ имеет координаты $(-k+3l;4k+l).$

Значит

$(-7;2)$ и есть $(-k+3l;4k+l).$

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}-k+3l=-7,\\4k+l=2;&\end{cases}$

$\begin{cases}-k+3(2-4k)=-7,\\l=2-4k;&\end{cases}$

$\begin{cases}k=1,\\l=-2;&\end{cases}$

$k=1.$

Ответ: $1.$