(ЕГЭ 2023, Досрок)

Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$\large \frac{5-a-(a^2-2a+1)sinx}{cos^2x+a^2+2}<1$

содержит отрезок $[0;\frac{2\pi}{3}].$

Решение:

Так как $cos^2x+a^2+2>0$ всегда, то переходим к равносильному неравенству:

$5-a-(a^2-2a+1)sinx-cos^2x-a^2-2<0;$

$5-a-(a^2-2a+1)sinx-(1-sin^2x)-a^2-2<0;$

$sin^2x-(a-1)^2sinx-a^2-a+2<0.$

Пусть $sinx=m,m\in[-1;1].$

Заметим, если $x\in[0;\frac{2\pi}{3}],$ то $m\in[0;1].$

Пусть $f(m)=m^2-(a-1)^2m-a^2-a+2.$

Хотим, чтобы решения неравенства $f(m)<0$ содержали бы в себе отрезок $[0;1].$

Достаточно потребовать:

$\begin{cases}f(0)<0,&&f(1)<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}-a^2-a+2<0,&&1-(a-1)^2-a^2-a+2<0;&\end{cases}$

$\begin{cases}a^2+a-2>0,&&2a^2-a-2>0;&\end{cases}$

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (\frac{1+\sqrt{17}}{4};+\infty).$