2023-05-14

(ЕГЭ 2023, Досрок)

Найдите все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

\frac{5-a-(a^2-2a+1)sinx}{cos^2x+a^2+2}<1

содержит отрезок [0;\frac{2\pi}{3}].

Решение:

Так как cos^2x+a^2+2>0 всегда, то переходим к равносильному неравенству:

5-a-(a^2-2a+1)sinx-cos^2x-a^2-2<0;

5-a-(a^2-2a+1)sinx-(1-sin^2x)-a^2-2<0;

sin^2x-(a-1)^2sinx-a^2-a+2<0.

Пусть sinx=m,m\in[-1;1].

Заметим, если x\in[0;\frac{2\pi}{3}], то m\in[0;1].

Пусть f(m)=m^2-(a-1)^2m-a^2-a+2.

Хотим, чтобы решения неравенства f(m)<0 содержали бы в себе отрезок [0;1].


Достаточно потребовать:

\begin{cases}f(0)<0,&&f(1)<0;&\end{cases}

\begin{cases}-a^2-a+2<0,&&1-(a-1)^2-a^2-a+2<0;&\end{cases}

\begin{cases}a^2+a-2>0,&&2a^2-a-2>0;&\end{cases}

Ответ: (-\infty;-2)\cup (\frac{1+\sqrt{17}}{4};+\infty).

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




один × три =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif