Задание 18 ЕГЭ 2023

На доске написано трёхзначное число $A.$ Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число $B,$ затем Коля записывает число $A$ и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C.$

а)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C,$ $A>140?$ 

б)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C,$ если $440\leq A<500?$ 

в)  Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A=B\cdot C.$

Решение:

а) Да, например, $A=180,$ $B=18,$ $C=10.$ При этом $A=B\cdot C.$

б) Из условия видно, что первая цифра числа $A$ всегда $4.$

Кроме того, вторая цифра числа $A$ не меньше $4.$

Значит, какую бы цифру мальчики не вычеркивали, останется всегда двузначное число, не меньшее $40.$ Но тогда $A\geq 40^2=1600,$ что больше $500.$
Нет, указанное невозможно.

в) Пусть $A=100a+10b+c.$ для удобства всевозможные варианты произведения $B\cdot C$ оформим в виде таблицы:

Желтые ячейки 1-4 таблицы нам неинтересны. Первые слагаемые в них $100a^2$ не меньше $100a,$ – первого слагаемого в разложении числа $A$ на разряды, то есть $A\leq B\cdot C$ (равенство возможно в случае $a=1,$ но нам этот случай вряд ли важен, когда мы ищем наибольшее число $A$).

Рассмотрим голубые ячейки 5 и 6.

$100a+10b+c=100ab+10ac+10b^2+bc;$

$100a(1-b)+10b(1-b)+c(1-b)=10ac;$

$(1-b)(100a+10b+c)=10ac;$

Так как $b\neq 0,$ единственная возможность, чтобы левая часть была бы не отрицательной (ведь правая часть равенства не отрицательна), – это $b=1.$

Тогда $0=10ac,$ откуда $c=0,$ а $a=8,$ если мы приследуем максимальное $A$ до $900.$

Итак,

$810=81\cdot 10$ или $810=10\cdot 81.$

Рассмотрим зеленую ячейку 9.

$100a+10b+c=100b^2+20bc+c^2;$

Чтобы оставаться в пределах до $900$ по $A,$ мы можем позволить лишь себе $b=1$ или $b=2$ ($b^2<9$), но в этом случае $A$ меньше уже найденного ($810$).

Рассмотрим фиолетовые ячейки 7-8.

$100a+10b+c=100ab+10ac+10bc+c^2;$

Необходимо (замечаем по первым слагаемым частей), – $b=1.$

Тогда

$10+c=10ac+10c+c^2;$

$10=c(10a+9+c);$
$10a+9+c\geq 19,$ а левая часть равна 10, – нет решений.

Мы перебрали все возможные варианты.

Итак, наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A=B\cdot C,$ – это $810.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $810.$