Задание 12 ЕГЭ 2023

а) Решите уравнение:

$2sin^3x=\sqrt2 cos^2x+2sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi;-\frac{5 \pi }{2}]$.

Решение:

а)

$2sin^3x=\sqrt2 cos^2x+2sinx;$

$2sin^3x=\sqrt2(1-sin^2x)+2sinx;$

$2sin^3x+\sqrt2sin^2x-2sinx-\sqrt2=0;$

$2sinx(sin^2x-1)+\sqrt2(sin^2x-1)=0;$

$(sin^2x-1)(2sinx+\sqrt2)=0;$

$(sinx-1)(sinx+1)(sinx+\frac{\sqrt2}{2})=0;$

$sinx=\pm 1$ или $sinx=\frac{-\sqrt2}{2};$

$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$ или $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$ или $x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[-4\pi;-\frac{5 \pi }{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

Ответ: а) $\frac{\pi}{2}+\pi n, -\frac{\pi}{4}+2\pi n, \frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$; б) $-\frac{7\pi}{2};-\frac{11\pi}{4};-\frac{5\pi}{2}.$