Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Первое и последнее слагаемые суммы дают $101$, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет $50.$ Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.  Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

$-9, -6, -3, 0, 3, …$

Решение: [spoiler]

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем $a_{20}$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

$a_{20}=a_1+19d$,

где $d=-6-(-9)=3$ – разность арифметической прогрессии.

$a_{20}=48.$

Сумма  чисел из ряда $-9, -6, -3, 0, 3, …48$ состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных $39.$

Значит, сумма указанных чисел окажется равной $390.$

Ответ: $390.$

Для того, чтобы воспользоваться формулой

  $\color{red}S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$,

нам надо найти $a_1$   и $a_{10}$:

$a_1=20-3\cdot 1=17;$

$a_{10}=20-3\cdot 10=-10.$

Тогда

$S_{10}=\frac{17+(-10)}{2}\cdot 10=35.$

Ответ: $35.$

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

$a_1=2,\;d=2,\;n=20$

Воспользуемся формулой $\color{red}S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$:

$S_{20}=\frac{2a_1+(20-1)d}{2}\cdot 20;$

 $S_{20}=\frac{4+38}{2}\cdot 20=420;$

Ответ: 420.  

$S_n=153,$   $a_1=1,$   шаг ($d$) равен $1$.

Обращаемся к формуле

 $\color{red}S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$:

$153=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 1}{2}\cdot n;$

$153=\frac{1+n}{2}\cdot n;$

$n^2+n-306=0;$

$n=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot (-306)}}{2}.$

Поскольку мы работаем с натуральными $n$, то $n=17.$

Ответ: $17.$  

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

$a_1=103-5\cdot 1=98;$

$a_2=103-5\cdot 2=93;$

$d=a_2-a_1=93-98=-5.$

Последовательность чисел арифметической  прогрессии, начиная с $5$-го  (по $16$), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим $b_1=a_5,\;b_2=a_6$ и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии {$b_n$} по формуле

$\color{red}S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$:

$S_{12}=\frac{2b_1+(12-1)d}{2}\cdot 12,$

где $b_1=a_5=103-5\cdot5=78;$

$S_{12}=\frac{156-55}{2}\cdot 12=606.$

Ответ: $606.$  

Двузначные числа: $10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.$

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные $4$,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму $S_{dvuznach}$ всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел $S_{:4}$, кратных $4$, то есть $12+16+…+96.$

3) из суммы $S_{dvuznach}$ вычтем сумму $S_{:4}$;

Итак,

$S_{dvusnach}=\frac{10+99}{2}\cdot 90=4905;$

Как узнать количество двузначных чисел, кратных $4$?

Обозначим порядковый номер числа $96$  в ряду $12, 16, … 96$  за $k$. Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ($a_1=12$).

Найдем $k:$

$a_k=a_1+(k-1)d;$

$96=12+(k-1)4;$

$k=22.$

Тогда

$S_{:4}=\frac{12+96}{2}\cdot 22=1188.$

Итак,

$S=S_{dvuznach}-S_{:4}=4905-1188=3717.$

Ответ: $3717.$