Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.
Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.
Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: $5050.$
$1+2+3+4+5+5+…+97+98+99+100=?$
А как бы считали вы? + показать
Первое и последнее слагаемые суммы дают $101$, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет $50.$ Вот и все!
Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.
Пример. Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии
$-9, -6, -3, 0, 3, …$
Решение: [spoiler]
Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.
Найдем $a_{20}$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии:
$a_{20}=a_1+19d$,
где $d=-6-(-9)=3$ – разность арифметической прогрессии.
$a_{20}=48.$
Сумма чисел из ряда $-9, -6, -3, 0, 3, …48$ состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных $39.$
Значит, сумма указанных чисел окажется равной $390.$
Ответ: $390.$
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n$ может быть найдена по формулам
$\color{red}S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
$\color{red}S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$,
где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$— член с номером $n$, $n$— количество суммируемых членов.
(Вторая формула – результат подстановки формулы $a_n=a_1+(n-1)d$ в первую формулу)
Примеры
Пример 1. Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n=20-3n.$
Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
Решение: + показать
Для того, чтобы воспользоваться формулой
$\color{red}S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$,
нам надо найти $a_1$ и $a_{10}$:
$a_1=20-3\cdot 1=17;$
$a_{10}=20-3\cdot 10=-10.$
Тогда
$S_{10}=\frac{17+(-10)}{2}\cdot 10=35.$
Ответ: $35.$
Пример 2. Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.
Решение: + показать
Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.
$a_1=2,\;d=2,\;n=20$
Воспользуемся формулой $\color{red}S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$:
$S_{20}=\frac{2a_1+(20-1)d}{2}\cdot 20;$
$S_{20}=\frac{4+38}{2}\cdot 20=420;$
Ответ: 420.
Пример 3. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?
Решение: + показать
$S_n=153,$ $a_1=1,$ шаг ($d$) равен $1$.
Обращаемся к формуле
$\color{red}S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$:
$153=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 1}{2}\cdot n;$
$153=\frac{1+n}{2}\cdot n;$
$n^2+n-306=0;$
$n=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot (-306)}}{2}.$
Поскольку мы работаем с натуральными $n$, то $n=17.$
Ответ: $17.$
Пример 4. Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n=103-5n.$
Найдите сумму членов данной прогрессии с $5$-го по $16$ включительно.
Решение: + показать
Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:
$a_1=103-5\cdot 1=98;$
$a_2=103-5\cdot 2=93;$
$d=a_2-a_1=93-98=-5.$
Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с $5$-го (по $16$), – также арифметическая прогрессия.
Поэтому обозначим $b_1=a_5,\;b_2=a_6$ и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии {$b_n$} по формуле
$\color{red}S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$:
$S_{12}=\frac{2b_1+(12-1)d}{2}\cdot 12,$
где $b_1=a_5=103-5\cdot5=78;$
$S_{12}=\frac{156-55}{2}\cdot 12=606.$
Ответ: $606.$
Пример 5. Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных $4.$
Решение: + показать
Двузначные числа: $10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.$
Если вычеркнуть в ряду числа, кратные $4$,
то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.
Мы поступим так:
1) вычислим сумму $S_{dvuznach}$ всех двузначных чисел;
2) вычислим сумму всех двузначных чисел $S_{:4}$, кратных $4$, то есть $12+16+…+96.$
3) из суммы $S_{dvuznach}$ вычтем сумму $S_{:4}$;
Итак,
$S_{dvusnach}=\frac{10+99}{2}\cdot 90=4905;$
Как узнать количество двузначных чисел, кратных $4$?
Обозначим порядковый номер числа $96$ в ряду $12, 16, … 96$ за $k$. Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ($a_1=12$).
Найдем $k:$
$a_k=a_1+(k-1)d;$
$96=12+(k-1)4;$
$k=22.$
Тогда
$S_{:4}=\frac{12+96}{2}\cdot 22=1188.$
Итак,
$S=S_{dvuznach}-S_{:4}=4905-1188=3717.$
Ответ: $3717.$
Вы можете пойти тест по теме «Сумма арифметической прогрессии».
Спасибо за материал!
спасибо ребят многое понял
пример 4 исправьте, всё хорошо но на моменте получения d начинается полный бред, и саму логику получения суммы членов с 5-го по 16-й проверьте, например как насчёт s16-s5…
[latexpage]Андрей, спасибо. Моя ошибка была в том, что $d=-5$, а не $5$. Этот момент исправила.
А бреда никакого не вижу, извините. Логика – в порядке.
По разному можно подойти к решению этой задачи.
А насчет – $S_{16}-S_{5}$ – не согласна))).
Следует находить $S_{16}-S_{4}.$
пример 5 исправьте ошибку сумма всех двухзначных равна 4095
Настя, спасибо большое!