Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.
Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.
Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: 

А как бы считали вы? + показать
Первое и последнее слагаемые суммы дают
, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет
Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.
Пример. Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

Решение: [spoiler]
Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.
Найдем
по формуле n-го члена арифметической прогрессии:
,
где
– разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел из ряда
состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 
Значит, сумма указанных чисел окажется равной 
Ответ:
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Сумма первых
членов арифметической прогрессии
может быть найдена по формулам

,
где
— первый член прогрессии,
— член с номером
,
— количество суммируемых членов.
(Вторая формула – результат подстановки формулы
в первую формулу)
Пример 1. Арифметическая прогрессия задана формулой 
Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
Решение: + показать
Для того, чтобы воспользоваться формулой
,
нам надо найти
и
:


Тогда

Ответ:
Пример 2. Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.
Решение: + показать
Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой
:


Ответ: 420.
Пример 3. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?
Решение: + показать
шаг (
) равен
.
Обращаемся к формуле
:




Поскольку мы работаем с натуральными
, то 
Ответ:
Пример 4. Арифметическая прогрессия задана формулой 
Найдите сумму членов данной прогрессии с
-го по
включительно.
Решение: + показать
Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:



Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с
-го (по
), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим
и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии {
} по формуле
:

где 

Ответ:
Пример 5. Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 
Решение: + показать
Двузначные числа: 
Если вычеркнуть в ряду числа, кратные
,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.
Мы поступим так:
1) вычислим сумму
всех двузначных чисел;
2) вычислим сумму всех двузначных чисел
, кратных
, то есть 
3) из суммы
вычтем сумму
;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных
?
Обозначим порядковый номер числа
в ряду
за
. Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию (
).
Найдем 



Тогда

Итак,

Ответ:

Вы можете пойти тест по теме «Сумма арифметической прогрессии».
Спасибо за материал!
спасибо ребят многое понял
пример 4 исправьте, всё хорошо но на моменте получения d начинается полный бред, и саму логику получения суммы членов с 5-го по 16-й проверьте, например как насчёт s16-s5…
Андрей, спасибо. Моя ошибка была в том, что
, а не
. Этот момент исправила.
– не согласна))).
А бреда никакого не вижу, извините. Логика – в порядке.
По разному можно подойти к решению этой задачи.
А насчет –
Следует находить
пример 5 исправьте ошибку сумма всех двухзначных равна 4095
Настя, спасибо большое!