Линейные системы уравнений
Системы линейных уравнений. Метод подстановки
+ показать
• Выражаем одну переменную через другую.
• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.
• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.
Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Из первого уравнения системы выражаем
через
и подставляем во второе уравнение:

Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение
подставляем в первое уравнение для нахождения
.

Ответ: 
Системы линейных уравнений. Метод сложения
+ показать
• Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.
• Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной.
• Решаем полученное уравнение с одной неизвестной.
• Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.
1. Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.



Ответ:
2. Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Прежде домножаем первую строку системы
, вторую строку системы – на
. Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.



Ответ:
Нелинейные системы уравнений
Системы уравнений, сводящихся к линейным
1. Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Можно сделать замену
и
Тогда выходим на систему линейных уравнений:

Систему можно решить методом сложения, например.
Но приведем решение без замены.
Умножим первое уравнение системы на
, второе – на
и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.





Ответ:
2. Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Можно сделать замену
и выйти на систему линейных уравнений:

Приведем решение без замены.
Выражаем
из второго уравнения системы и подставляем в первое.




Ответ:
Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки
Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Выражаем
из первого уравнения системы и подставляем во второе.




Ответ:
Нелинейные системы уравнений. Метод сложения
Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.




Ответ:
Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)
1. Решить систему уравнений: 
Решение: + показать

Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.





Ответ:
Симметрические системы. Метод введения переменной
Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных
и
– уравнение, которое не изменяется при замене
на
и
на
.
Для таких систем удобно использовать замену
Решить систему уравнений: 
Решение: + показать

При замене
приходим к следующей системе

которую будем решать способом подстановки:



Производим обратную замену:



Ответ: 
Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы
Однородным уравнением с двумя неизвестными
будем называть уравнение вида 
1. Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на
(можно и на
или
). Заметим, опасности деления на ноль нет.

Первое уравнение системы – квадратное относительно
.



Ответ: 
2. Решить систему уравнений: 
Решение: + показать
Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.





Ответ: 
Графический метод решения систем уравнений
1. Решите графически систему уравнений: 
Решение: + показать
Выразим в обеих строках системы
через
:

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

Ответ: 
2. Решите графически систему уравнений: 
Решение: + показать
Первая строка системы задает окружность с центром в точке
радиусом
. Вторая строка системы задает прямую
.

Находим координаты точек пересечения графиков: 
Ответ: 
3. Решите графически систему уравнений: 
Решение: + показать
Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке
.
Так как
, то из второй строки системы
при условии, что
То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой 

Ответ: 
Задания для самостоятельной работы
+ показать
Решите системы уравнений:
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
3. 
Ответ: 
4. 
Ответ: 
5. 
Ответ: 
6. 
Ответ: 
7. 
Ответ: 
8. 
Ответ: 
Решите графически системы уравнений:
9. 
Ответ: 
10. 
Ответ: 
В “Системы уравнений, сводящихся к линейным” неверно обозначена замена для m . В числителе нужно поставить 1(а у Вас 4)
Светлана, спасибо большое! Конечно. Опечатка исправлена.
“Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки” По-моему, ошибка. У меня ответы (8;1) и (-8;-3)
:( …
Спасибо, исправлено.
Здравствуйте! Прошу подскажите.
Как правильно решить систему? Верно ли я понимаю, что она будет решаться подобно графическому методу первой задачи?
Log5X+Log5y=1
2^x+y-3=8
где, 5 – основание логарифма
^ – значок степени
Ответами будут: (5;1) и (1,5)
Максим, не заметила сразу ваш коммент… Если еще актуально…
? 
Мне не совсем понятно второе уравнение системы. Это точно выглядит так:
Потому как, – ваши решения не удовлетворяют второму уравнению.Быть может, где-то скобочки должны стоять?..
(x+y-3) степенное выражение
Ну вот… Ответы верные. Но совсем не обязательно решать графически.
подставляете в первое уравнение:
(
). Квадратное уравнение -> корни…
Из второго уравнения выражаете одну из переменных, например,
Проверьте, пожалуйста, в 4 упражнении. У меня получилось (1;-2) (-5;-5)
Ответы на сайте указаны верно. Вы можете подстановкой своей пары (1;-2) в систему убедиться в том, что пара не даёт верных равенств)