Параллелограмм

Сумма двух углов параллелограмма равна Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

могут давать в сумме только два противоположных острых угла (в данном случае и ).
Даже если бы в задаче сумма двух углов равнялась бы, например, то речь все равно шла бы о сумме двух противоположных углов. Ведь смежные (соседние) углы параллелограмма дают всегда в сумме
Итак, (по свойству параллелограмма) противоположные углы параллелограмма равны:

тогда

Угол равен углу

Ответ: .

Один угол параллелограмма больше другого на Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть градусов, тогда градусов (речь идет только о смежных углах, так как противоположные углы параллелограмма равны).
Так как по свойству параллелограмма сумма смежных углов равна то

Тогда больший угол (или ) есть

Ответ: .

Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как Ответ дайте в градусах.

Речь идет о соседних углах параллелограмма, так как противоположные углы параллелограмма равны.
Пусть тогда
Так как по свойству параллелограмма сумма смежных углов равна то

Тогда больший угол параллелограмма – то есть

Ответ: .

Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Тогда

Ответ: .

Периметр параллелограмма равен Меньшая сторона равна Найдите большую сторону параллелограмма.

Две стороны параллелограмма относятся как а периметр его равен Найдите большую сторону параллелограмма.

Пусть
Тогда

Откуда

Ответ: .

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна Найдите его большую сторону.

По свойству биссектрисы угла параллелограмма и
Поскольку то

Ответ: .

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника

Ответ: .

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен

Треугольник равнобедренный по свойству биссектрисы угла параллелограмма.
Так как то пусть
Тогда и
Поскольку периметр параллелограмма равен то составим уравнение:

Откуда

Ответ: .

В параллелограмме высота, опущенная на сторону из точки равна Найдите синус угла

Работаем в треугольнике

Далее, так как углы и дают в сумме то

Ответ: .

В параллелограмме Найдите высоту, опущенную на сторону

Так как противоположные углы в параллелограмме равны, то
В треугольнике где – высота, опущенная на сторону
Итак,

Ответ: .

В параллелограмме Найдите большую высоту параллелограмма.

В параллелограмме больше та высота, что проведена к меньшей стороне. Будем искать высоту
В треугольнике

Ответ: .

Площадь параллелограмма равна две его стороны равны и Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Большая сторона параллелограмма – та, что проведена к меньшей стороне. В нашем случае это
Треугольник

Ответ: .

Площадь параллелограмма равна две его стороны равны Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Большая сторона параллелограмма – та, что проведена к меньшей стороне. В нашем случае это
Треугольник

Ответ: .

Площадь параллелограмма равна Точка — середина стороны Найдите площадь треугольника

Медиана треугольника делит его на два равновеликих, поэтому площади треугольников равны, причём каждая из них – четверть площади параллелограмма. Тогда площадь треугольника есть

Ответ:

В параллелограмме Найдите

Так как то найдем как только будем знать
Из основного тригонометрического тождества
(Заметим, – вообще говоря, из следует но поскольку у нас угол острый, то положителен).
Итак,

Тогда .
Ответ: .

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть стороны – и

где – угол между соседними сторонами параллелограмма.
По условию Тогда

Ответ: .

Площадь параллелограмма равна . Точка — середина стороны . Найдите площадь трапеции .

А поскольку , то .
Итак,

Ответ: .

Площадь параллелограмма равна Найдите площадь параллелограмма вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Пусть угол между диагоналями параллелограмма –

– средняя линия треугольника откуда и
Аналогично – средняя линия треугольника откуда и
Очевидно,
Итак,

Ответ: .

Диагонали четырехугольника равны и Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Пусть – середины сторон соответственно.
Пусть
– средняя линия треугольника значит
– средняя линия треугольника значит
– средняя линия треугольника значит
– средняя линия треугольника значит
Итак,

Ответ: .