Геометрический смысл производной. Касательная
На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссы точки, в которой касательная к графику параллельно оси абсцисс или совпадают с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, ее угловой коэффициент равен
Стало быть, мы ищем точку, в которой производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка
Ответ:
Стало быть, мы ищем точку, в которой производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка
Ответ:
На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссы точки, в которой касательная графику параллельна прямой или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный и .
Точка такова, что
Ответ:
Точка такова, что
Ответ:
На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции f(x) в точке
Согласно геометрическому смыслу производной
Из прямоугольного треугольника помеченного голубым цветом, видно, что
где – угол наклона касательной к графику функции проведенной через точку к положительному направлению оси
Из прямоугольного треугольника помеченного голубым цветом, видно, что
Поэтому
Ответ:
На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Согласно геометрическому смыслу производной где – угол наклона касательной к графику функции проведенной через точку к положительному направлению оси
Видим, что – тупой угол. Рассмотрим угол смежный углу
В прямоугольном треугольнике
Тогда
Ответ:
Видим, что – тупой угол. Рассмотрим угол смежный углу
В прямоугольном треугольнике
Тогда
Ответ:
На рисунке изображен график функции Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Согласно геометрическому смыслу производной где – угол наклона касательной к графику функции проведенной через точку к положительному направлению оси
Касательная проходит через начало координат и точку Проведем эту касательную.
Видим, что угол наклона касательной – тупой угол.
Рассмотрим угол смежный углу
В прямоугольном треугольнике
Тогда
Касательная проходит через начало координат и точку Проведем эту касательную.
Видим, что угол наклона касательной – тупой угол.
Рассмотрим угол смежный углу
В прямоугольном треугольнике
Тогда
Ответ:
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке Найдите значение производной функции в точке
Имеем
Тогда
При этом согласно геометрическому смыслу производной.
Тогда
.
Ответ:
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции в точке
При этом – это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке то есть
Тогда
Ответ:
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции в точке
– это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке то есть
Тогда
Ответ:
Тогда
Ответ:
Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.
Так как касательная к графику функции параллельна прямой (у параллельных прямых совпадают угловые коэффициенты), то
где – точка касания.
Ответ:
Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.
Уравнение касательной
где – точка касания.
Так както
Теперь приведем уравнение касательной к виду
А так как прямая и есть касательная к к графику функции в точке то
Откуда
Ответ:
Сформулируем условие касания графика функции и прямой в точке
Пусть – касательная к графику функции в точке
Мы уже знаем, что уравнение касательной к графику функции в точке задается следующим образом:
В дальнейшем, мы будем опираться на этот факт.
Мы уже знаем, что уравнение касательной к графику функции в точке задается следующим образом:
или, что тоже самое,
Но если и – касательная к графику функции в точке в точке то
и
ОткудаИтак, можно сказать, что для того чтобы прямая была касательной к графику функции необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа для которого выполняется система:
В дальнейшем, мы будем опираться на этот факт.
Прямая является касательной к графику функции Найдите
Воспользуемся условием касания графика функции и прямой в точке (точках)
Ответ:
Получаем:
Итак,
Ответ:
Прямая является касательной к графику функции Найдите учитывая, что абсцисса точки касания больше
Воспользуемся условием касания графика функции и прямой в точке (точках)
Ответ:
Имеем:
В условии сказано, что абсцисса точки касания положительна, поэтому берем только вариант
Ответ:
Решать аналоги самостоятельно