Применение производной к исследованию функции

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Мы видим на рисунке на указанном отрезке три нуля производной. Причем, производная меняет знак при переходе через них. Это точки экстремума функции (точки максимума и минимума).
При переходе через точку максимума функция меняет характер возрастания на убывание, а значит производная меняет знак с «» на «» . В нашем случае производная меняет знак с «» на «» в точках и
Итак, точки максимума две.
Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите количество точек минимума функции на отрезке

Точки минимума ищем там, где производная меняет знак с минуса на плюс. На указанном отрезке функция имеет две точки минимума и
Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите количество точек экстремума функции на отрезке

Точки экстремума ищем там, где происходит смена знака производной. Производная меняет знак в трех точках (см. рисунок).
Ответ:

На рисунке изображен график функции определенной на интервале Найдите сумму точек экстремума функции .

Заданная функция имеет экстремумы в точках .
Поэтому сумма точек экстремума равна
Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки возрастания функции соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам
Наибольший из них — отрезок длина которого равна 
Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки убывания функции соответствуют промежуткам, на которых производная функции неположительна. Наблюдаемый на рисунке отрезок содержит следующие целые точки: сумма которых равна
Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на интервале

На рисунке изображен график функции определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна

Производная изображенной на рисунке функции равна нулю в точках экстремума:
Ответ: .

На рисунке изображен график производной функции На оси абсцисс отмечены восемь точек: Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции

Возрастанию функции соответствуют неотрицательные значения её производной. Производная неотрицательна в точках Таких точек
Ответ:

На рисунке изображен график функции отмечены точки В какой из точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках Эти точки нас и интересуют.
Тангенс угла наклона касательной явно меньше в точке
Ответ:

На рисунке изображен график функции на оси абсцисс отмечены семь точек: В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки всего три точки.
Ответ:

Функция определена и непрерывна на отрезке. На рисунке изображен график её производной. Найдите точку в которой функция принимает наименьшее значение, если

Функция, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках и убывает на отрезке
Функция принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке или в точке минимума .
На рисунке видим предполагаемые варианты поведения функции Выбираем подходящий, опираясь на условие
Наименьшего значения функция достигает в точке
Ответ:3.

Функция определена на промежутке На рисунке изображен график её производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Cмена знака производной с положительного на отрицательный соответствует точке максимума.
В точке с абсциссой достигается наибольшее значение функции.
Ответ:

На рисунке изображен график функции на оси абсцисс отмечены восемь точек: В скольких из этих точек производная функции положительна?

Ответ:

На рисунке изображен график функции определенной на интервале Найдите количество решений уравнения на отрезке

На отрезке горизонтальные касательные к графику можно провести через три точки.
Ответ:

Функция определена и непрерывно на полуинтервале на рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Согласно рисунку и в силу непрерывности функция убывает на отрезке Данный промежуток содержит целые точки сумма которых равна
Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

На рассматриваемом отрезке функция убывает, значит на большее значение достигает в начале отрезка, в точке
Ответ:

На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

На заданном отрезке производная функции положительна, — функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой конце отрезка, т. е. в точке
Ответ: