Задачи на прогрессию

Бригада маляров красит забор длиной метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

В задаче фигурирует арифметическая прогрессия (назовем ее так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров. Индекс отвечает за дни. Само число – количество покрашенных за день метров забора.
Итак, нам известно:

– арифметическая прогрессия;

– сумма первых членов арифметической прогрессии.

Требуется найти
Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии

Ответ:

Олегу надо решить задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за дней.

Вводим арифметическую прогрессию
– количество решенных задач в первый день,
– количество дней,
– количество решенных задач за все дней (сумма первых членов арифметической прогрессии).
Требуется найти
Итак,

Ответ:

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за дней, а расстояние между городами составляет километров.

Как и в предыдущих задачах, имеем дело с арифметической прогрессией.
Нам известно:

Требуется найти
Согласно формуле суммы -первых членов арифметической прогрессии имеем:

Воспользуемся формулой -го члена арифметической прогрессии чтобы найти разность

Тогда

Ответ:

Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Очень многие попадаются на этой задачке, считая, что в ней скрывается арифметическая прогрессия.
Нет, все хитрее. Дело в том, что прибавка прибыли – не одинакова каждый год. Каждый год от прибыли предыдущего года в пересчет на рубли – разные величины.
В данном случае имеем дело с геометрической прогрессией
– прибыль (в рублях) за -ый год 2000-ый год считаем первым годом прибыли, 2001-ый – вторым и т.д.).
Известно следующее:

(так как увеличение на – значит увеличение в раз).
Требуется узнать
Согласно формуле -го члена геометрической прогрессии имеем:

– прибыль за 2003 год.

Ответ:

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

У нас две геометрические прогрессии и
1) Для компании «Альфа» Поясним… Раз прибыль составляет капитала, то новый капитал составит удвоенный старый.
Нужно узнать для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Бетта».

2) Для компании «Бетта»
Поясни, почему . Раз по условию прибыль составляет то новый капитал складывается из старого и утроенного старого, то есть составляет старый капитал, умноженный на
Нужно узнать для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Альфа».

3) Итак, – на столько долларов капитал компании «Бетта» был больше капитала компании «Альфа» к концу 2008 года.
Ответ: