ЕГЭ 2023, резерв

 а) Решите уравнение:

$log_3x\cdot log_3(4x^2-1)=log_3\frac{x(4x^2-1)}{3}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log_52;log_527].$

Решение:

а)

$log_3x\cdot log_3(4x^2-1)=log_3\frac{x(4x^2-1)}{3};$

$log_3x\cdot log_3(4x^2-1)=log_3x+log_3(4x^2-1)-log_33;$

$log_3x(log_3(4x^2-1)-1)-(log_3(4x^2-1)-1)=0;$

$(log_3(4x^2-1)-1)(log_3x-1)=0;$

$(log_3(4x^2-1)-log_33)(log_3x-log_33)=0;$

$(4x^2-1-3)(x-3)=0$ при условии $x>0,5;$

$x=1$ или $x=3.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[log_52;log_527]:$

$log_52<log_55=1<log_527,$ значит $1$ принадлежит отрезку $[log_52;log_527].$

$3=log_5125>log_527,$ значит $3$ не принадлежит отрезку $[log_52;log_527].$