Задание 18 ЕГЭ 2023

Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}.$ За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т. е. получить несократимую дробь $\frac{a+b}{b+2a}.$

а)  Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б)  Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за 2 хода.

в)  Дробь  $\frac{c}{d}$ больше  $\frac{7}{10}.$ Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Решение:

а) $\frac{2}{3}\to \frac{2+3}{3+2\cdot 2}=\frac{5}{7}\to \frac{5+7}{7+2\cdot 5}=\frac{12}{17}\to \frac{12+17}{17+2\cdot 17}=\frac{29}{41}.$

б) Так как $\frac{a}{b}\to \frac{a+b}{b+2a}\to \frac{3a+2b}{4a+3b}.$

Заметим, если дробь $\frac{a}{b}$ несократима, то и дробь $\frac{3a+2b}{4a+3b}$ несократима.
Действительно, $NOD(3a+2b;4a+3b)=NOD(3a+2b;a+b)=NOD(2a+b;a+b)=NOD(a;a+b)=NOD(a; b)=1.$

Тогда

$\frac{6}{7}=\frac{3a+2b}{4a+3b};$

$24a+18b=21a+14b;$

$3a+4b=0,$

что невозможно для натуральных $a,b.$

в) Пусть $0,7<x=\frac{3a+2b}{4a+3b}.$

Тогда

$4ax+3bx=3a+2b;$

$a(4x-3)=b(2-3x);$

$\frac{a}{b}=\frac{2-3x}{4x-3}$ или $\frac{a}{b}=\frac{3x-2}{3-4x}.$

Останавливаемся, очевидно, на втором варианте, где $x\in (\frac{2}{3};\frac{3}{4}).$

Имеем: $x\in (0,7;0,75).$

Следует учесть также, что дробь $\frac{a}{b}$ правильная, то есть

$3x-2<3-4x,$

откуда

$x<\frac{5}{7}.$

Итак, $0,7<x<\frac{5}{7}.$

Если $x=\frac{5}{7},$ то $\frac{a}{b}=\frac{3\cdot \frac{5}{7}-2}{3-4\cdot \frac{5}{7}}=1,$ что невозможно.

Каждый $x\in (0,7;\frac{5}{7})$ мы можем получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода, a $x=\frac{5}{7}$ нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}.$