Задание №19. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

2018-09-07

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№18

19. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу  №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Решение:

Пусть в школе №1 тест писали n учащихся, тогда в школе №2 – (51-n) учащихся.

Пусть средний балл школы №1 до перехода учащегося – S. Суммарный балл – Sn.

а) Пусть средний балл в школе №1 вырос (после перехода учащегося) в два раза.

Тогда  новый суммарный балл стал 2S(n-1).

Найдем разность суммарных баллов, то есть балл того учащегося, который переходил из школы в школу:

Sn-2S(n-1)=S(2-n).

Поскольку n\geq 2, то S(2-n)\leq 0, что невозможно, так как балл каждого учащегося по условию – натуральное число.

б) Допустим, первоначальный балл в школе №2 равнялся 1 и при этом средний балл в школе №1 вырос на 10%, то есть стал 1,1Sn, средний балл в школе №2 также вырос на 10%, то есть стал равен 1,1.

Пусть балл учащегося, что переходил из школы в школу, – m.

Тогда

m=Sn-1,1S(n-1)=1,1(52-n)-(51-n);

m=1,1S-0,1Sn=6,2-0,1n;

10m=S(11-n)=62-n.

Поскольку 2\leq n\leq 10 и при этом 62-n должно делиться на 10, то подходит только вариант n=2, что влечет за собой 9S=60. Последнее уравнение не имеет натуральных решений. Случай невозможен.

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдем наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

В пункте б показано, что первоначальный средний балл в школе №2 не мог равняться 1.

Пусть он равен 2.

Тогда

m=Sn-1,1S(n-1)=2,2(52-n)-2(51-n);

m=1,1S-0,1Sn=2(6,2-0,1n);

10m=S(11-n)=2(62-n).

Поскольку 2\leq n\leq 10 и при этом 62-n должно делиться на 5, то подходят случаи n=2 и n=7.

В первом случае 9S=120, во втором 4S=110.  Уравнения не имеют натуральных решений. Случай невозможен.

Пусть первоначальный средний балл в школе №2 равен 3.

Тогда

m=Sn-1,1S(n-1)=3,3(52-n)-3(51-n);

10m=S(11-n)=3(62-n).

Поскольку 2\leq n\leq 10 и при этом 62-n должно делиться на 10, то подходит случай n=2.  Тогда S=20 и m=18.

Случай возможен, если в школе №1 писали тест 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов, а в школе №2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал 3 балла, перешедший  из одного школы в другую учащийся, набрал 18 баллов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

три + 4 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif