Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,
а также вариант 2 (13-19) и ответы к нему
Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №18
19. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на %, средний балл в школе №2 также вырос на
%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться
?
в) Средний балл в школе №1 вырос на %, средний балл в школе №2 также вырос на
%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Решение:
Пусть в школе №1 тест писали учащихся, тогда в школе №2 –
учащихся.
Пусть средний балл школы №1 до перехода учащегося – Суммарный балл –
а) Пусть средний балл в школе №1 вырос (после перехода учащегося) в два раза.
Тогда новый суммарный балл стал
Найдем разность суммарных баллов, то есть балл того учащегося, который переходил из школы в школу:
Поскольку то
что невозможно, так как балл каждого учащегося по условию – натуральное число.
б) Допустим, первоначальный балл в школе №2 равнялся и при этом средний балл в школе №1 вырос на
%, то есть стал
средний балл в школе №2 также вырос на
%, то есть стал равен
Пусть балл учащегося, что переходил из школы в школу, –
Тогда
Поскольку и при этом
должно делиться на
то подходит только вариант
что влечет за собой
Последнее уравнение не имеет натуральных решений. Случай невозможен.
в) Средний балл в школе №1 вырос на %, средний балл в школе №2 также вырос на
%. Найдем наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
В пункте б показано, что первоначальный средний балл в школе №2 не мог равняться .
Пусть он равен
Тогда
Поскольку и при этом
должно делиться на
то подходят случаи
и
В первом случае во втором
Уравнения не имеют натуральных решений. Случай невозможен.
Пусть первоначальный средний балл в школе №2 равен
Тогда
Поскольку и при этом
должно делиться на
то подходит случай
Тогда
и
Случай возможен, если в школе №1 писали тест учащихся и набрали
и
баллов, а в школе №2 писали тест
учащихся и каждый набрал
балла, перешедший из одного школы в другую учащийся, набрал
баллов.
Ответ: а) нет; б) нет; в)
Добавить комментарий