Задание 18 ЕГЭ 2023

В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.

а)  Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение:

а) Да, в классе может быть 5 девочек, если мальчиков, например, 20.

Действительно,

$\frac{5}{5+20}=\frac{1}{5}=20$%$<21$%.

б) Пусть девочек было $d,$ мальчиков – $m.$

Тогда $\frac{d+1}{m+d+1}=0,3,$ откуда

$10d+10=3m+3d+3;$

$7(d+1)=3m$ (*)

Из условия $\frac{d}{m+d}<21$% имеем:

$100d<21m+21d;$

$79d<21m$ (**)

Тогда с учетом (*):

$49(d+1)=21m>79d,$

то есть

$49d+49>79d;$

$d<\frac{49}{30};$

$d\leq 1.$

Но в этом случае равенство (*) не выполняется. Действительно, – $m=\frac{7(d+1)}{3}$ – не натурально при $d\leq 1.$

в) Учитывая $m+d\leq 26$ и (**), получаем:

$\frac{79d}{21}+d\leq 26;$

$d\leq 5.$

Новый процент девочек: $p=\frac{(d+1)\cdot 100}{m+d+1}.$

Пусть $d=5$. Тогда из (**) $m>\frac{79\cdot 5}{21}\geq 19$ и $p=\frac{600}{m+6}\leq \frac{600}{25}=24<25.$

Пусть $d=4$. Тогда $m>\frac{79\cdot 4}{21}\geq 16$ и $p=\frac{500}{m+5}\leq \frac{500}{21}<25.$

Пусть $d=3$. Тогда $m>\frac{79\cdot 3}{21}\geq 12$ и $p=\frac{400}{m+4}\leq \frac{400}{16}=25.$

Пусть $d=2$. Тогда $m\geq 9,$ так как $m+d>10$ и $p=\frac{300}{12}=25.$

Пусть $d=1$. Тогда $m\geq 10$ и $p=\frac{200}{11}<25.$

Итак, наибольшее число процентов, что может составить доля девочек в классе после прихода одной девочки, – 25%. Достигается, например, если в классе было 2 девочки и 9 мальчиков.

Ответ: а) да; б) нет; в) 25.