07. Геометрический смысл производной. Касательная

Так как  касательная к графику функции $y=x^2-5x+7$ параллельна прямой $y=4x+8$ (у параллельных прямых совпадают угловые коэффициенты),  то

$4=f'(x_0),$ где $x_0$ – точка касания.

$4=2x_0-5;$

$x_0=4,5.$

Ответ: $4,5.$ 

Уравнение касательной

$\color{red}y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$

где $x_0$ – точка касания

Так как

$f'(x_0)=3x_0^2+2x_0+8,$

то

$y_k=(3x_0^2+2x_0+8)(x-x_0)+x_0^3+x_0^2+8x_0-9;$

Теперь приведем уравнение касательной к виду $y=kx+b$:

$y_k=(3x_0^2+2x_0+8)x-3x_0^3-2x_0^2-8x_0+x_0^3+x_0^2+8x_0-9;$

$y_k=(3x_0^2+2x_0+8)x-2x_0^3-x_0^2-9;$

А так как прямая  $y=8x-9$ и есть касательная к к графику функции $f(x)=x^3+x^2+8x-9$ в точке $x_0$, то

$\begin{cases}
3x_0^2+2x_0+8=8,&
&\\-2x_0^3-x_0^2-9=-9;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
x_0(3x_0+2)=0,&
&\\x_0^2(2x_0+1)=0;&
\end{cases}$

Откуда

$x_0=0;$

Ответ: $0$. 

Пусть $y=kx+b$ – касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Мы уже знаем, что  уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ задается следующим образом:

$\color{red}y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

или, что тоже самое,

$\color{red}y_k=f'(x_0)x-f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)$

Но если и $y=kx+b$ – касательная к графику  функции $f(x)$ в точке $x_0$, то

$f'(x_0)=k$  и $-f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)=b$.

Последнее условие можно немного представить по другому с учетом первого:

$kx_0+b=f(x_0)$.

Итак, можно сказать, что для того чтобы прямая $y=kx+b$  была касательной к графику функции $y=f(x)$, необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа $x_0$, для которого выполняется система:

$\color{red}\begin{cases}
f'(x_0)=k,&
&\\kx_0+b=f(x_0);&
\end{cases}$

В дальнейшем,  мы будем опираться на этот факт.

Воспользуемся условием касания графика функции $f(x)$  и прямой $y=kx+b$ в точке (точках) $x_0$:

$\color{red}\begin{cases}
f'(x_0)=k,&
&\\kx_0+b=f(x_0);&
\end{cases}$

Получаем:

$\begin{cases}
2ax_0+27=-3,&
&\\-3x_0-8=ax_0^2+27x_0+7;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
2ax_0=-30,&
&\\ax_0^2=15;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
ax_0=-15,&
&\\-15x_0=15;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
a=15,&
&\\x_0=-1;&
\end{cases}$

Итак, $a=15;$

Ответ: $15$. 

Согласно условию касания графика функции $f(x)$  и прямой $y=kx+b$ в точке (точках) $x_0$

$\color{red}\begin{cases}
f'(x_0)=k,&
&\\kx_0+b=f(x_0);&
\end{cases}$

имеем:

$\begin{cases}
12x_0+b=5,&
&\\5x_0-8=6x_0^2+bx_0+16;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
b=5-12x_0,&
&\\5x_0-8=6x_0^2+(5-12x_0)x_0+16;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
b=5-12x_0,&
&\\6x_0^2-24=0;&
\end{cases}$

В условии сказано, что абсцисса точки касания положительна, поэтому берем только  вариант $x_0=2.$

$\begin{cases}
b=5-12x_0,&
&\\x_0=2;&
\end{cases}$

$b=-19$.

Ответ: $-19.$ 

Согласно геометрическому смыслу производной

$\color{red}f'(x_0)=tg\alpha$,

где $\alpha$ – угол наклона касательной к графику функции $f(x)$, проведенной через точку $x_0$, к положительному направлению оси $(ox)$.

Из прямоугольного треугольника $ABC$, помеченного голубым цветом, видно, что

$tg\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{3}=2$.

Поэтому

$f'(x_0)=2.$

Ответ: $2$. 

Согласно геометрическому смыслу производной $\color{red}f'(x_0)=tg\alpha$, где $\alpha$ – угол наклона касательной к графику функции $f(x)$, проведенной через точку $x_0$, к положительному направлению оси $(ox)$.

Видим, что $\alpha$ – тупой угол. Рассмотрим угол $\beta$, смежный углу $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ $tg\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25.$

Тогда $tg\alpha=tg(180^{\circ}-\beta)=-tg\beta=-0,25.$

Ответ: $-0,25.$ 

Согласно геометрическому смыслу производной

$\color{red}f'(x_0)=tg\alpha$,

где $\alpha$ – угол наклона касательной к графику функции $f(x)$, проведенной через точку $x_0,$ к положительному направлению оси $(ox)$.

Касательная проходит через начало координат и точку $(10;-6)$. Проведем эту касательную.

Видим, что угол наклона касательной $\alpha$ – тупой угол. Рассмотрим угол $\beta$, смежный углу $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ $tg\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{10}=0,6.$

Тогда

$tg\alpha=tg(180^{\circ}-\beta)=-tg\beta=-0,6.$

Ответ: $-0,6.$ 

Имеем

$g'(x_0)=6f'(x_0)-3.$

При этом $f'(x_0)=tg\alpha=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$ согласно геометрическому смыслу производной. Тогда

$g'(x_0)=6f'(x_0)-3=6\cdot (\frac{2}{3})-3=-7.$

Ответ: $-7$. 

Имеем

$g'(x_0)=-7f'(x_0)+21.$

При этом $f'(x_0)$ – это угловой коэффициент касательной $y=-3x-5$ к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0,$ то есть $f'(x_0)=-3.$

Тогда $g'(x_0)=-7f'(x_0)+21=-7\cdot (-3)+21=42.$

Ответ: $42$. 

$f'(x_0)$ – это угловой коэффициент касательной $y=\frac{8}{3}x-54$ к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0,$ то есть $f'(x_0)=\frac{8}{3}.$

Тогда $g'(x_0)=(f'(x_0)-0,5)\cdot 6=(\frac{8}{3}-0,5)\cdot 6=13.$

Ответ: $13$.