Тест №2 по Задачам №10

Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну $h(t)=1,4+14t-5t^2,$ где $h$ — вы­со­та в мет­рах, $t$ — время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее $8$ мет­ров?

После дождя уро­вень воды в ко­лод­це может по­вы­сить­ся. Маль­чик из­ме­ря­ет время $t$ па­де­ния не­боль­ших ка­меш­ков в ко­ло­дец и рас­счи­ты­ва­ет рас­сто­я­ние до воды по фор­му­ле $h=5t^2$, где $h$ — рас­сто­я­ние в мет­рах, $t$ — время па­де­ния в се­кун­дах. До дождя время па­де­ния ка­меш­ков со­став­ля­ло $1,5$ с. На сколь­ко дол­жен под­нять­ся уро­вень воды после дождя, чтобы из­ме­ря­е­мое время из­ме­ни­лось на $0,1$ с? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна $P=m(\frac{v^2}{L}-g)$, где $m$ – масса воды в ки­ло­грам­мах, $v$ ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, $L$ – длина верeвки в мет­рах, $g$ – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те  $g=10$ м/с$^{2}$). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна $40$ см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну $H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2$, где  $t$ – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана, $H_0=20$ – на­чаль­ная вы­со­та стол­ба воды, $k=\frac{1}{50}$ – от­но­ше­ние пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний крана и бака, а $g$ – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те $g=10$ м/с$^2$). Через сколь­ко се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объeма воды?

Кам­не­ме­та­тель­ная ма­ши­на вы­стре­ли­ва­ет камни под не­ко­то­рым ост­рым углом к го­ри­зон­ту. Тра­ек­то­рия полeта камня опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой $y=ax^2+bx$, где $a=-\frac{1}{110}$  м$^{-1}$, $b=\frac{13}{11}$ — по­сто­ян­ные па­ра­мет­ры, $x$(м) — сме­ще­ние камня по го­ри­зон­та­ли, $y$(м) — вы­со­та камня над землeй. На каком наи­боль­шем рас­сто­я­нии (в мет­рах) от кре­пост­ной стены вы­со­той $19$ м нужно рас­по­ло­жить ма­ши­ну, чтобы камни про­ле­та­ли над сте­ной на вы­со­те не менее $1$ метра?

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни со ско­ро­стью $v_0=30$ м/с, начал тор­мо­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем $a=4$ м/с$^2$. За $t$ се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния он про­шел путь $S=v_0t-\frac{at^2}{2}$ (м). Опре­де­ли­те время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, если из­вест­но, что за это время ав­то­мо­биль про­ехал $112$ мет­ров. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на схема ван­то­во­го моста. Вер­ти­каль­ные пи­ло­ны свя­за­ны про­ви­са­ю­щей цепью. Тросы, ко­то­рые сви­са­ют с цепи и под­дер­жи­ва­ют по­лот­но моста, на­зы­ва­ют­ся ван­та­ми.

Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат: ось $oy$ на­пра­вим вер­ти­каль­но вдоль од­но­го из пи­ло­нов, а ось $ox$ на­пра­вим вдоль по­лот­на моста, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат линия, по ко­то­рой про­ви­са­ет цепь моста, имеет урав­не­ние $y=0,005x^2-0,74x+25$, где $x$ и $y$ из­ме­ря­ют­ся в мет­рах. Най­ди­те длину ванты, рас­по­ло­жен­ной в $30$ мет­рах от пи­ло­на. Ответ дайте в мет­рах.

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся вра­ща­ю­ща­я­ся ка­туш­ка. Она со­сто­ит из трeх од­но­род­ных со­ос­ных ци­лин­дров: цен­траль­но­го мас­сой $m=8$ кг и ра­ди­у­са $R=8$ см, и двух бо­ко­вых с мас­са­ми $M=2$ кг и с ра­ди­у­са­ми $R+h$. При этом мо­мент инер­ции ка­туш­ки от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, вы­ра­жа­е­мый в кг$\cdot$см$^2$, даeтся фор­му­лой $I=\frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2)$. При каком мак­си­маль­ном зна­че­нии $h$ мо­мент инер­ции ка­туш­ки не пре­вы­ша­ет пре­дель­но­го зна­че­ния $768$ см$^2$ ? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звeзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му мощ­ность из­лу­че­ния на­гре­то­го тела $P$, из­ме­ря­е­мая в ват­тах, прямо про­пор­ци­о­наль­на пло­ща­ди его по­верх­но­сти и четвeртой сте­пе­ни тем­пе­ра­ту­ры: $P=\sigma ST^4$, где $\sigma =5,7\cdot 10^{-8}$  — по­сто­ян­ная, пло­щадь $S$  из­ме­ря­ет­ся в квад­рат­ных мет­рах, а тем­пе­ра­ту­ра $T$ — в гра­ду­сах Кель­ви­на. Из­вест­но, что не­ко­то­рая звез­да имеет пло­щадь $S=\frac{1}{125}\cdot 10^{20}$ м$^2$, а из­лу­ча­е­мая ею мощ­ность $P$ не менее $2,85\cdot 10^{25}$ Вт. Опре­де­ли­те наи­мень­шую воз­мож­ную тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды. При­ве­ди­те ответ в гра­ду­сах Кель­ви­на.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2,$ где $t$ — время в минутах, $T_0=1350$ К, $a=-7,5$ К/мин$^2$, $b=105$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1650$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью  $v_0=15,$  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=120$ км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0+\frac{at^2}{2},$  где $t$ — время в часах. Определите наибольшее  время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $45$ км от города. Ответ выразите в минутах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A=\rho gl^3,$  где $l$ — длина ребра куба в метрах, $\rho =1000$ кг/м$^3$ — плотность воды, а $g$  — ускорение свободного падения (считайте $g=9,8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $321 126,4$ Н? Ответ выразите в метрах.

Зависимость объeма спроса $q$   (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$  (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=170-10p.$  Выручка предприятия за месяц $r$  (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p)=q\cdot p.$  Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ составит не менее $700$ тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.