Определение
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники $AOD$ и $COB$, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия – $k=\frac{AD}{BC}.$
Отношение площадей этих треугольников есть $k^2$.
4. Треугольники $ABO$ и $DCO$, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом $r$ и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — $a$ и $b$, то $r=\sqrt{ab}.$
Площадь
$\color{red}S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ или $\color{red}S=lh,$ где $l$ – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Смотрите также площадь трапеции.
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу: у равнобедренной трапеции диагональ есть биссектрисой острого угла. Найдите периметр трапеции, если ее основания равны 6см и 8см. Спасибо.
Пусть AD=8,BC=6. Угол CAD равен углу BCA (накрест лежащие при…), углы BAC,CAD равны. Тогда равны между собой и BAC,BCA. То есть треугольник ABC равнобедренный, откуда боковая сторона – 6. Периметр – 26.
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу: дана трапеция ABCD, её диагонали взаимно перпендикулярны, при этом длина большой диагонали = 35 см., а меньшей-12 см. Найти меньшее основание, если большое (AD) равно 27 см.
Переносим диагональ BD параллельно самой себе в точку С. С продолжением АD она пересекается в точку К. Рассматриваем прямоугольный треугольник АСК. По теореме Пифагора его гипотенуза АК есть 35^2+12^2, то есть 37. Но при этом АК есть сумма оснований, так как DK=BC. Ответ: 10.
Здравствуйте,помогите пожалуйста
Как найти среднюю линию MN р/б трапеции ABCD,угол А=30градусов,радиус вписанной окружности r=6
1) r=6 -> h=12
2) опускаем пару высот из вершин верхнего основания. наблюдаем два равных прямоугольных треугольника с катетами/высотами, равными 12 и гипотенузами 24, так как портив угла в 30 градусов лежит катет, вдвое меньший гипотенузы.
3) Применяем свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность. А именно, суммы длин противоположных сторон равны.
Сумма боковых сторон трапеции – 48. Значит и сумма оснований – 48.
Ответ: 24.
Огромное спасибо!
Помогите решить задачу,заранее спасибо
Дано: ABCD-Параллелограмм
точка E отмечена на стороне BC
BE/EC=2/1
F-середина AB
Выразить вектор AE через вектор AF и вектор AD
[latexpage]$\vec{AE}=\vec{AB}+\vec{BE}=2\vec{AF}+\frac{2}{3}\vec{BC}=2\vec{AF}+\frac{2}{3}\vec{AD}.$
Добрый вечер,помогите пожалуйста решить задачу.Зарание благодарна.
Дан параллелограмм АВСD.Точка k принадлежит АD.
АК/КD=1/2. Р-середина АВ.
Выразить :вектор ВК через вектор ВР И вектор ВС
Смотрите предыдущий комментарий
добрый вечер! помогите пожалуйста решить задачу. Боковая сторона равносторонней трапеции равна меньшей основе, а диагональ трапеции равна большей основе. Определите градусные меры углов
Пусть САВ=ВСА=х, тогда и САD=x, так как САD=ВСА как накрест лежащие.
Стало быть, А=D=2х.
Но тогда и АСD=2x. Итак, из треугольника АСD:
2x+2x+x=180, откуда х=36.
Помогите решить задачу!При каком значении параметра a система уравнения имеет одно решение:
|x|+|y|=2
y=a
Первое уравнение задаёт квадрат с вершинами в точках (2;0),(-2;0),(0;2),(0;-2).
Второе уравнение – семейство прямых, параллельных оси ох.
Одно решение будет в случае прохождения прямой y=a через точки (0;2), (0;-2).
Откуда a=2 или a=-2.
Помогите пожалуйста решить.Упростить выражение
1/((a+1)(a+2))+1/((a+2)(a+3))+…+1/((a+2013)(a+2014))++1/((a+2014)(a+2015))
Сложите первые две дроби. Потом результат и третью. Увидите закономерность совершенно четкую. Распространите ее и на последние дроби. Пробуйте…
Здравствуйте! Помогите решить.
Дано отрезок ОА. Из конца отрезка А выходит 5 отрезков АВ1,АВ2 АВ3 АВ4 АВ5. Из каждой точки Ві могут выходить еще 5 новых отрезка,или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов =2015?(Под свободным концом отрезка понимают точку которая относится только к одному отрезку(кроме точки О
Если к одному из пяти концов приделать пять новых отрезков, сколько получаем концов?
9 против 5.
Если ещё к одному из концов приделать пять новых отрезков, сколько получаем концов?
13 против 9.
Что замечаем? Каждый раз на 4 конца больше получаем.
Делите 2015 на 4, делайте вывод…
Большое спасибо!
Здравствуйте. А можете помочь с задачей? Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
2x=102, откуда x=51. Углы – 51 и 129.
Вечер добрый.
Несколько нестандартный вопрос. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция, AB – большее основание, CD – меньшее. Через точку С проведем прямую, перпендикулярную к CD. Почему она пересекает AB?
В разных решебниках авторы этим пользуются бездоказательно.
Видимо, вы имели ввиду прямую, перпендикулярную AB, а не к CD…
Может быть иначе по-вашему?..
Пусть к АВ, но доказательство все равно требуется.
Вы можете доказать?
Не могу, конечно. Ведь в геометрии недопустимы слова “из чертежа видно, что…”
Что будет, если предположить, что не пересекутся?
Надо будет думать. Может есть смысл перейти в координатную плоскость.
Не усложняйте! Предположив параллельность, приходите к противоречию, используя аксиому параллельности…
Не так. Упомянутая перпендикулярная прямая будет пересекать либо АВ, либо ее продолжение.
Вот не понимаю я вашего топтания на месте… Не циклитесь…
Здравствуйте, помогите пожалуйста!!!! Трапеция выписана в окружность R так, что диаметр окружности совпадает с ее большим основанием. Найдите периметр трапеции, если её меньшее основание ровно боковой стороне. Спасибо большое.
Посмотрите задачу 9 из второго раздела статьи