Равносильность

[latexpage]Равносильность

Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней.

Пример 1.

Уравнения $x^2-5x+6=0$   и   $\frac{x^2}{x+3}=\frac{5x-6}{x+3}$ равносильны, так как имеют одни и те же корни.

Пример 2.

Уравнения $\frac{5}{x-3}=0$ и $\sqrt{-4-x^2}=0$ также равносильны, так как решением каждого из них является  пустое множество.

Пример 3.

Неравенства $|x|<3$ и $x^2<9$ равносильны, так как решением и того, и другого является множество $(-3;3)$.

Пример 4.

$(x-3)^2=1$ и $x-3=1$ – неравносильны.

Решение второго уравнения является только $4$, а решением первого – и $4$, и $2.$