ЕГЭ 2023, резерв

Вклад в размере 10 млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на 10 %. Кроме того в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн руб., где  x  — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн руб.

Решение:

К концу первого года на счету будет

$1,1\cdot 10$ млн. рублей.

К концу второго года на счету будет

$1,1^2\cdot 10$ млн. рублей.

В начале третьего года на счету будет

$1,1^2\cdot 10+x$ млн. рублей.

К концу третьего года на счету будет

$1,1^3\cdot 10+1,1\cdot x$ млн. рублей.

В начале четвертого года на счету будет

$1,1^3\cdot 10+1,1\cdot x+x$ млн. рублей.

К концу четвертого года на счету будет

$1,1^4\cdot 10+1,1^2\cdot x+1,1x$ млн. рублей.

В итоге за все время банк начислит

$1,1^4\cdot 10+1,1^2\cdot x+1,1x-10-2x$ млн. рублей.

Найдем наименьшее целое $x,$ учитывая что на вклад начислено больше 7 млн. рублей:

$1,1^4\cdot 10+1,1^2\cdot x+1,1x-10-2x>7;$

$x(1,1^2+1,1-2)>17-1,1^4\cdot 10;$

$x>\frac{17-1,1^4\cdot 10}{0,31};$

$x>\frac{2,359}{0,31};$

$x>\frac{2359}{310};$

$x>7\frac{189}{310}.$

Наименьшее целое значение $x,$ отвечающее неравенству, это $8$ (млн. рублей).

Ответ: $8.$