Задача 1. Найдите значение выражения $(\sqrt{17}-\sqrt{12})(\sqrt{17}+\sqrt{12})$.
Решение: + показать
Задача 2. Найдите значение выражения: $\sqrt{610^2-448^2}$.
Решение: + показать
Замечаем под корнем разность квадратов:
$\sqrt{610^2-448^2}=\sqrt{(610-448)(610+448)}=\sqrt{162\cdot 1058};$
Разложим на множители числа под корнем:
$162=2\cdot 81=2\cdot 9^2;$
$1058=2\cdot 529=2\cdot 23^2;$
Тогда
$\sqrt{610^2-448^2}=\sqrt{2\cdot 9^2\cdot 2\cdot 23^2}=\sqrt{2^2\cdot 9^2\cdot 23^2}=2\cdot 9\cdot 23=414.$
Ответ: $414.$
Задача 3. Найдите значение выражения $\large\frac{(2\sqrt6)^2}{25}$.
Решение: + показать
$\large\frac{(2\sqrt6)^2}{25}=\frac{2^2\cdot (\sqrt6)^2}{25}=\frac{4\cdot 6}{25}=\frac{24}{25}=\frac{24\cdot 4}{25\cdot 4}=\frac{96}{100}=0,96.$
Ответ: $0,96.$
Задача 4. Найдите значение выражения $(\sqrt{54}-\sqrt{24})\cdot \sqrt{6}.$
Решение: + показать
$(\sqrt{54}-\sqrt{24})\cdot \sqrt{6}=(3\sqrt{6}- 2\sqrt{6})\cdot \sqrt{6}=\sqrt{6}\cdot \sqrt6=6.$
Ответ: $6.$
Задача 5. Найдите значение выражения $4\cdot \sqrt[6]{32}\cdot \sqrt[30]{32}.$
Решение: + показать
$\large4\cdot \sqrt[6]{32}\cdot \sqrt[30]{32}=4\cdot \sqrt[6]{2^5}\cdot \sqrt[30]{2^5}=4\cdot 2^{\frac{5}{6}}\cdot 2^{\frac{5}{30}}=4\cdot 2^{\frac{5}{6}+\frac{1}{6}}=4\cdot 2=8.$
Ответ: $8.$
Задача 6. Найдите значение выражения $\large\frac{\sqrt{1,8}\cdot \sqrt{2,4}}{\sqrt{0,48}}$.
Решение: + показать
$\large\frac{\sqrt{1,8}\cdot \sqrt{2,4}}{\sqrt{0,48}}=\sqrt{\frac{1,8\cdot 2,4}{0,48}}=\sqrt{\frac{18\cdot 24}{48}}=\sqrt9=3.$
Ответ: $3.$
Задача 7. Найдите значение выражения $\large\frac{\sqrt[20]{10}\cdot \sqrt[5]{10}}{\sqrt[4]{10}}$.
Решение: + показать
I способ:
$\large\frac{\sqrt[20]{10}\cdot \sqrt[5]{10}}{\sqrt[4]{10}}=\frac{10^{\frac{1}{20}}\cdot 10^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{4}}}=10^{\frac{1}{20}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}}=10^{\frac{1+4-5}{20}}=10^0=1.$
II способ:
$\sqrt[5]{10}=\sqrt[5\cdot 4]{10^4}=\sqrt[20]{10^4}$, аналогично $\sqrt[4]{10}=\sqrt[20]{10^5}$.
Поэтому имеем:
$\large\frac{\sqrt[20]{10}\cdot \sqrt[5]{10}}{\sqrt[4]{10}}=\frac{\sqrt[20]{10}\cdot \sqrt[20]{10^4}}{\sqrt[20]{10^5}}=\sqrt[20]{\frac{10\cdot 10^4}{10^5}}=\sqrt[20]1=1.$
Ответ: $1.$
Задача 8. Найдите значение выражения $\large\frac{(\sqrt5+\sqrt{11})^2}{8+\sqrt{55}}.$
Решение: + показать
Применяем формулу «квадрат суммы»:
$\large\frac{(\sqrt5+\sqrt{11})^2}{8+\sqrt{55}}=\frac{5+2\sqrt5\sqrt{11}+11}{8+\sqrt{55}}=\frac{16+2\sqrt{55}}{8+\sqrt{55}}=\frac{2(8+\sqrt{55})}{8+\sqrt{55}}=2.$
Ответ: $2.$
Задача 9. Найдите значение выражения $(\sqrt{2\frac{4}{7}}-\sqrt{7\frac{1}{7}}):\sqrt{\frac{2}{63}}$.
Решение: + показать
$(\sqrt{2\frac{4}{7}}-\sqrt{7\frac{1}{7}}):\sqrt{\frac{2}{63}}=\sqrt{2\frac{4}{7}}\cdot \sqrt{\frac{63}{2}}-\sqrt{7\frac{1}{7}}\cdot \sqrt{\frac{63}{2}}=\sqrt{2\frac{4}{7}\cdot \frac{63}{2}}-\sqrt{7\frac{1}{7}\cdot \frac{63}{2}}= $
$=\sqrt{\frac{18\cdot 63}{7\cdot 2}}-\sqrt{\frac{50\cdot 63}{7\cdot 2}}=\sqrt{9^2}-\sqrt{25\cdot 9}=9-15=-6.$
Ответ: $-6.$
Задача 10. Найдите значение выражения $\large\frac{10\sqrt x+2}{\sqrt x}-\frac{2\sqrt x}{x}$ при $x>0$.
Решение: + показать
$\large\frac{10\sqrt x+2}{\sqrt x}-\frac{2\sqrt x}{x}=\frac{(10\sqrt x+2)\sqrt x}{\sqrt x\sqrt x}-\frac{2\sqrt x}{x}=\frac{10x+2\sqrt x-2\sqrt x}{x}=10.$
Ответ: $10.$
Задача 11. Найдите значение выражения $\large\frac{4\sqrt x+3}{\sqrt x}-\frac{3\sqrt x}{x}-3x+2$ при $x=2.$
Решение: + показать
$\large\frac{4\sqrt x+3}{\sqrt x}-\frac{3\sqrt x}{x}-3x+2=\frac{4x+3\sqrt x-3\sqrt x}{x}-3x+2=$
$=\frac{4x}{x}-3x+2=4-3x+2=6-3x=6-3\cdot 2=0.$
Ответ: $0.$
Задача 12. Найдите значение выражения $\large\frac{21\sqrt[24]m\cdot \sqrt[12]m}{\sqrt[8]m}$ при $m>0$.
Решение: + показать
I способ:
$\large\frac{21\sqrt[24]m\cdot \sqrt[12]m}{\sqrt[8]m}=\frac{21m^{\frac{1}{24}}\cdot m^{\frac{1}{12}}}{m^{\frac{1}{8}}}=21m^{\frac{1}{24}+\frac{1}{12}-\frac{1}{8}}=21m^{\frac{1+2-3}{24}}=21m^0=21.$
II способ:
$\large\frac{21\sqrt[24]m\cdot \sqrt[12]m}{\sqrt[8]m}=\frac{21\sqrt[24]m\cdot \sqrt[24]{m^2}}{\sqrt[24]{m^3}}=21\sqrt[24]{\frac{m\cdot m^2}{m^3}}=21.$
Ответ: $21.$
Задача 13. Найдите значение выражения $\large\frac{\sqrt[13]{\sqrt m}}{\sqrt{16\sqrt[13]m}}$ при $m>0$.
Решение: + показать
При $m>0$
$\large\frac{\sqrt[13]{\sqrt m}}{\sqrt{16\sqrt[13]m}}=\frac{\sqrt[26]m}{4\sqrt[26]{m}}=\frac{1}{4}=0,25.$
Ответ: $0,25.$
Задача 14. Найдите значение выражения $\large\frac{21\sqrt[3]{\sqrt[14] a}-6\sqrt[7]{\sqrt[6] a}}{5\sqrt[2]{\sqrt[21] a}}$ при $a>0$.
Решение: + показать
$\large\frac{21\sqrt[3]{\sqrt[14]a}-6\sqrt[7]{\sqrt[6]a}}{5\sqrt{\sqrt[21]a}}=\frac{21\sqrt[42]a-6\sqrt[42]a}{5\sqrt[42]a}=\frac{15\sqrt[42]a}{5\sqrt[42]a}=3.$
Ответ: $3.$
Задача 15. Найдите $\large\frac{g(2-x)}{g(2+x)}$, если $g(x)=\sqrt[3]{x(4-x)}$, при $|x|\neq 2$.
Решение: + показать
$\large\frac{g(2-x)}{g(2+x)}=\frac{\sqrt[3]{(2-x)(4-(2-x))}}{\sqrt[3]{(2+x)(4-(2+x))}}=\frac{\sqrt[3]{(2-x)(2+x)}}{\sqrt[3]{(2+x)(2-x)}}=1$ (при $|x|\neq 2$).
Ответ: $1.$
Задача 16. Найдите $h(10+x)+h(10-x)$, если $h(x)=\sqrt[5]x+\sqrt[5]{x-20}.$
Решение: + показать
$h(10+x)+h(10-x)=(\sqrt[5]{10+x}+\sqrt[5]{10+x-20})+(\sqrt[5]{10-x}+\sqrt[5]{10-x-20})=$
$=\sqrt[5]{10+x}+\sqrt[5]{x-10}+\sqrt[5]{10-x}+\sqrt[5]{-(10+x)}$
$=\sqrt[5]{10+x}+\sqrt[5]{x-10}+\sqrt[5]{10-x}-\sqrt[5]{10+x}$
$=\sqrt[5]{x-10}+\sqrt[5]{10-x}=\sqrt[5]{x-10}-\sqrt[5]{x-10}=0.$
Ответ: $0.$
Задача 17. Найдите значение выражения $x+\sqrt{x^2+46x+529}$ при $x\leq -23.$
Решение: + показать
$x+\sqrt{x^2+46x+529}=x+\sqrt{(x+23)^2}=x+|x+23|.$
Заметим, $\sqrt{a^2}=|a|$.
Поскольку по условию $x\leq -23$, то по определению модуля $|x+23|=-(x+23)$.
Тогда
$x+\sqrt{x^2+46x+529}=x-x-23=-23.$
Ответ: $-23.$
Задача 18.Найдите значение выражения $\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-2)^2}$ при $1\leq a \leq 2$.
Решение: + показать
$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-2)^2}=|a-1|+|a-2|;$
При $1\leq a \leq 2$ $|a-1|=a-1,\;|a-2|=-(a-2).$
Итак,
$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a-2)^2}=a-1-a+2=1.$
Ответ: $1.$
Вы можете пройти тест «Преобразование иррациональных выражений»
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Школьники, мне кажется, вообще не поймут что значит “иррациональные выражения”, определение в начале статьи не помешает ;)
Поставила ссылочку на иррациональные числа
не понятно как решать 7-ю задачу, почему из корня выходит |x+23|
Потому что по определению [latexpage] $\sqrt{a^2}=|a|$.
Пример 1: $\sqrt{3^2}=3$ с этим обычно все соглашаются…
Пример 2: $\sqrt{(-3)^2}=…$
Если считать, что $\sqrt{a^2}=a$, то следовало бы написать $\sqrt{(-3)^2}=-3$, неправда ли?Все дело в том, что $a$, находясь под корнем, но в квадрате, может быть по знаку любым. А вот, сам корень не может быть отрицательным.
$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$
————————————————–
Кстати, вот в этом случае совсем другое: $(\sqrt{a})^2=a$, $a\geq 0.$ :D
вроде всё понятно, главное на ЕГЭ не растеряться… Спасибо огромное!
:D Все будет хорошо! Вы быстро продвигаетесь вперед!
8-я задача… почему не рассматривается случай если а=2, то из первого модуля выходит 1, а из второго выходит 0 ? в условии утверждается, что |a-2| = -(a-2)
В условии сказано, что [latexpage]$1
в условии 1<=a<=2
???
от 1 до 2 включительно, разве нет? то есть и 1 и 2 мы тоже учитываем…
Или мы смотрим на разные задачи?… Я вижу, что [latexpage]$1
Часть 2, задача 8 — у меня вот так 1<=a<=2 …
ну если правильно будет 1<a<2 , то у меня больше нет вопросов :)
Чудеса… Я ничего не понимаю…
может от браузера зависит… попробуйте стереть и прописать по новой, такие глюки уже не первый раз случаются…
Но я не меняла саму запись в статье… Да и значки при наборе формулы очень отличаются друг от друга…
Посмотрю сейчас в изнанке статьи…
Это что-то новенькое!
Действительно, при наборе идет =< и >=, а отображается как < и >. А у вас, значит, корректно отображается…
Впервые такое замечаю.
В любом случае, задание решено верно
А по какому принципу раскрывали модуль в задании 8?
По определению. Исходя из условия [latexpage] $1\leq x\leq 2.$
Елена Юрьевна,огромное спасибо Вам за ответ и такое количество примеров.Я думаю,что прорешав их постепенно усвою то,что до меня не доходило,а то я совсем отчаялась.Спасибо Вам еще раз.