Иррациональные уравнения. Часть 2

2014-02-11

Продолжение. Начало смотрите здесь.

 

Задание 1.

Решить уравнение: \frac{x^2}{\sqrt{2x+5}}+\sqrt{2x+5}=2x.

Решение:

x=0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на x:

\frac{x}{\sqrt{2x+5}}+\frac{\sqrt{2x+5}}{x}=2;

Замена:

Пусть \frac{x}{\sqrt{2x+5}}=t.

t+\frac{1}{t}=2;

t^2-2t+1=0;

t=1;

Обратная замена:

\frac{x}{\sqrt{2x+5}}=1;

x=\sqrt{2x+5};

\begin{cases} x^2=2x+5,& &x>0; \end{cases}

\begin{cases} x^2-2x-5=0,& &x>0; \end{cases}

x=1+\sqrt6;

Ответ: 1+\sqrt6.

Задание 2.

Решить уравнение:  \sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{14+x}=2.

Решение:

Замена:

\sqrt[3]{12-x}=a,\;\sqrt[3]{14+x}=b.

Тогда

\begin{cases} a+b=2,& &a^3+b^3=26; \end{cases}

Ко второй строке применяем формулу “сумма кубов” и учитываем первую строку во второй:

\begin{cases} a+b=2,& &(a+b)(a^2-ab+b^2)=26; \end{cases}

\begin{cases} a+b=2,& &2(a^2-ab+b^2)=26; \end{cases}

\begin{cases} a+b=2,& &a^2-ab+b^2=13; \end{cases}

Вторую строку сворачиваем в квадрат суммы:

\begin{cases} a+b=2,& &(a+b)^2-3ab=13; \end{cases}

\begin{cases} a+b=2,& &4-3ab=13; \end{cases}

\begin{cases} a+b=2,& &ab=-3; \end{cases}

\begin{cases} a=2-b,& &(2-b)b=-3; \end{cases}

\begin{cases} a=2-b,& &b^2-2b-3=0; \end{cases}

\left[\begin{gathered} \begin{cases} b=3,& &a=-1; \end{cases}& \begin{cases} b=-1,& &a=3; \end{cases} \end{gathered}\right&

Обратная замена:

\left[\begin{gathered} \sqrt[3]{12-x}=-1, &\sqrt[3]{12-x}=3; \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} 12-x=-1, &12-x=27; \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} x=13, &x=-15; \end{gathered}\right&

Ответ: -15; 13.

Задание 3.

Решить уравнение: \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16.

Решение:

Возведем обе части в квадрат:

2x+3+2\sqrt{2x+3}\sqrt{x+1}+x+1=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;

3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;

Обратите внимание, что при этом x\geq -1,  а также 3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16\geq 0.

То есть перед нами система

\begin{cases} 3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2,& &x\geq -1,& &2\sqrt{2x^2+5x+3}\geq 16-3x; \end{cases}

Выйдем на время из системы и решим уравнение 3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2 через замену переменной: t=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}.

Тогда имеем:

t=(t-20)^2, при этом t\geq 20 (см. последнее неравенство системы)

t^2-41t+400=0,\;t\geq 20;

t=\frac{41\pm \sqrt{41^2-1600}}{2},\;t\geq 20;

t=\frac{41\pm 9}{2},\;t\geq 20;

t=25;

Обратная замена:

3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=25,

2\sqrt{2x^2+5x+3}=21-3x;

8x^2+20x+12=(21-3x)^2,\;x\leq 7;

8x^2+20x+12=441-126x+9x^2,\;x\leq 7;

x^2-146x+429=0,\;x\leq 7;

x=73\pm 70,\;x\leq 7;

x=3;

Найденный корень удовлетворяет исходной системе.

Ответ: 3.

Задание 4.

Решить уравнение: \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1.

Решение:

Выделим полный квадрат под корнями:

x+5-4\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-2)^2,\; x+2-2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-1)^2.

Тогда \sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=1;

Стало быть,

|\sqrt{x+1}-2|+|\sqrt{x+1}-1|=1;

Нам предстоит раскрыть модули.

У нас три случая:

1) \sqrt{x+1}>2, то есть x>3;

2) 1\leq \sqrt{x+1}\leq  2, то есть 0\leq x\leq 3;

3) \sqrt{x+1}<1, то есть -1\leq x<0;

Итак,

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>3,& &\sqrt{x+1}-2+\sqrt{x+1}-1=1; \end{cases}& \begin{cases} 0\leq x\leq 3,& &-\sqrt{x+1}+2+\sqrt{x+1}-1=1; \end{cases}& \begin{cases} -1\leq x<0,& &-\sqrt{x+1}+2-\sqrt{x+1}+1=1; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>3,& &\sqrt{x+1}=2; \end{cases}& \begin{cases} 0\leq x\leq 3,& &1=1; \end{cases}& \begin{cases} -1\leq x<0,& &\sqrt{x+1}=1; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>3,& &x=3; \end{cases}& 0\leq x\leq 3;& \begin{cases} -1\leq x<0,& &x=0; \end{cases} \end{gathered}\right&

Откуда 0\leq x\leq 3.

Ответ: [0;3].

Задачи для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

1. \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{13-x^2}}=\frac{5}{6};

Ответ: + показать

2. \sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}-1;

Ответ: + показать

3. \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1;

Ответ: + показать

4. \sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}=4-2x;

Ответ: + показать

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. WhatDoesItMeanToBeManly

    Совсем не получается первое, никаких аналогий с решенными выше не увидел. Можно подсказку?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Например, так:
      \sqrt{13-x^2}=a,x=b.
      Тогда \frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{5}{6} и a^2+b^2=13.

      [ Ответить ]
      • WhatDoesItMeanToBeManly

        Спасибо, как всегда интересный ход конем. Получались большие числа и решать было неприятно, но первые два ответа таки выползли из этого ада. А вот ради последнего пришлось бы решать квадратное уравнение ну уж с совсем заоблачными числами, и я плюнул) хотя там все равно что-то не сходилось х)

        [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif