Продолжение. Начало смотрите здесь.
Задание 1
Решить уравнение: $\frac{x^2}{\sqrt{2x+5}}+\sqrt{2x+5}=2x.$
Решение: + показать
$x=0$ не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на $x$:
$\frac{x}{\sqrt{2x+5}}+\frac{\sqrt{2x+5}}{x}=2;$
Замена:
Пусть $\frac{x}{\sqrt{2x+5}}=t.$
$t+\frac{1}{t}=2;$
$t^2-2t+1=0;$
$t=1;$
Обратная замена:
$\frac{x}{\sqrt{2x+5}}=1;$
$x=\sqrt{2x+5};$
$\begin{cases}x^2=2x+5,\\x>0;&\end{cases}$
$\begin{cases}x^2-2x-5=0,\\x>0;&\end{cases}$
$x=1+\sqrt6;$
Ответ: $1+\sqrt6.$
Задание 2
Решить уравнение: $\sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{14+x}=2.$
Решение: + показать
Замена:
$\sqrt[3]{12-x}=a,\;\sqrt[3]{14+x}=b.$
Тогда
$\begin{cases}a+b=2,\\a^3+b^3=26;&\end{cases}$
Ко второй строке применяем формулу “сумма кубов” и учитываем первую строку во второй:
$\begin{cases}a+b=2,\\(a+b)(a^2-ab+b^2)=26;&\end{cases}$
$\begin{cases}a+b=2,\\2(a^2-ab+b^2)=26;&\end{cases}$
$\begin{cases}a+b=2,\\a^2-ab+b^2=13;&\end{cases}$
Вторую строку сворачиваем в квадрат суммы:
$\begin{cases}a+b=2,\\(a+b)^2-3ab=13;&\end{cases}$
$\begin{cases}a+b=2,\\4-3ab=13;&\end{cases}$
$\begin{cases}a+b=2,\\ab=-3;&\end{cases}$
$\begin{cases}a=2-b,\\(2-b)b=-3;&\end{cases}$
$\begin{cases}a=2-b,\\b^2-2b-3=0;&\end{cases}$
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}b=3,\\a=-1;\end{cases}\\\begin{cases}b=-1,\\a=3;\end{cases}\end{array}\right.$
Обратная замена:
$\left[\begin{array}{rcl}\sqrt[3]{12-x}=-1,\\\sqrt[3]{12-x}=3;\end{array}\right.$
$\left[\begin{array}{rcl}12-x=-1,\\12-x=27;\end{array}\right.$
$\left[\begin{array}{rcl}x=13,\\x=-15;\end{array}\right.$
Ответ: $-15; 13.$
Задание 3
Решить уравнение: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16.$
Решение: + показать
Возведем обе части в квадрат:
$2x+3+2\sqrt{2x+3}\sqrt{x+1}+x+1=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;$
$3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;$
Обратите внимание, что при этом $x\geq -1,$ а также $3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16\geq 0.$
То есть перед нами система
$\begin{cases}3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2,\\x\geq -1,\\2\sqrt{2x^2+5x+3}\geq 16-3x;\end{cases}$
Выйдем на время из системы и решим уравнение $3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2$ через замену переменной: $t=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}$.
Тогда имеем:
$t=(t-20)^2,$ при этом $t\geq 20$ (см. последнее неравенство системы)
$t^2-41t+400=0,\;t\geq 20;$
$t=\frac{41\pm \sqrt{41^2-1600}}{2},\;t\geq 20;$
$t=\frac{41\pm 9}{2},\;t\geq 20;$
$t=25;$
Обратная замена:
$3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=25$,
$2\sqrt{2x^2+5x+3}=21-3x;$
$8x^2+20x+12=(21-3x)^2,\;x\leq 7;$
$8x^2+20x+12=441-126x+9x^2,\;x\leq 7;$
$x^2-146x+429=0,\;x\leq 7;$
$x=73\pm 70,\;x\leq 7;$
$x=3;$
Найденный корень удовлетворяет исходной системе.
Ответ: $3.$
Задание 4
Решить уравнение: $\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=1.$
Решение: + показать
Выделим полный квадрат под корнями:
$x+5-4\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-2)^2,\; x+2-2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-1)^2.$
Тогда $\sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=1;$
Стало быть,
$|\sqrt{x+1}-2|+|\sqrt{x+1}-1|=1;$
Нам предстоит раскрыть модули.
У нас три случая:
1) $\sqrt{x+1}>2,$ то есть $x>3;$
2) $1\leq \sqrt{x+1}\leq 2$, то есть $0\leq x\leq 3;$
3) $\sqrt{x+1}<1$, то есть $-1\leq x<0;$
Итак,
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>3,\\\sqrt{x+1}-2+\sqrt{x+1}-1=1;\end{cases}\\\begin{cases}0\leq x\leq 3,\\-\sqrt{x+1}+2+\sqrt{x+1}-1=1;\end{cases}\\\begin{cases}-1\leq x<0,\\-\sqrt{x+1}+2-\sqrt{x+1}+1=1;\end{cases}\end{array}\right.$
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>3,\\\sqrt{x+1}=2;\end{cases}\\\begin{cases}0\leq x\leq 3,\\1=1;\end{cases}\\\begin{cases}-1\leq x<0,\\\sqrt{x+1}=1;\end{cases}\end{array}\right.$
$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>3,\\x=3;\end{cases}\\0\leq x\leq 3;\\\begin{cases}-1\leq x<0,\\x=0;\end{cases}\end{array}\right.$
Откуда $0\leq x\leq 3.$
Ответ: $[0;3].$
Задачи для самостоятельной работы
Решить уравнения:
1. $\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{13-x^2}}=\frac{5}{6};$
Ответ: + показать
$2;\;3;\;-\frac{\sqrt{481}+13}{10}$
2. $\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}-1;$
Ответ: + показать
-11; 24
3. $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1;$
Ответ: + показать
$[5;10]$
4. $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}=4-2x;$
Ответ: + показать
1
Совсем не получается первое, никаких аналогий с решенными выше не увидел. Можно подсказку?
Например, так:
[latexpage]$\sqrt{13-x^2}=a,x=b.$
Тогда $\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{5}{6}$ и $a^2+b^2=13.$
Спасибо, как всегда интересный ход конем. Получались большие числа и решать было неприятно, но первые два ответа таки выползли из этого ада. А вот ради последнего пришлось бы решать квадратное уравнение ну уж с совсем заоблачными числами, и я плюнул) хотя там все равно что-то не сходилось х)