01. Параллелограмм

$62^{\circ}$ могут давать в сумме только  два противоположных острых угла (в данном случае $A$  и $C$).

Даже если бы в задаче сумма двух углов равнялась бы, например, $200^{\circ}$, то речь все равно шла бы о сумме двух противоположных углов. Ведь смежные  (соседние) углы параллелограмма дают всегда  в сумме $180^{\circ}.$

Итак, (по свойству параллелограмма) противоположные углы параллелограмма равны:

$\angle A=\angle C=\frac{62^{\circ}}{2}=31^{\circ};$

Тогда

$\angle B=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-31^{\circ}=149^{\circ};$

Угол $D$ равен углу $B.$

Ответ: $149.$

Пусть  $\angle A=x$ градусов, тогда  $\angle B=70+x$ градусов (речь идет только о смежных углах, так как противоположные углы параллелограмма равны).

Так как по свойству параллелограмма сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, то

$x+x+70=180;$

$2x=110;$

$x=55.$

Тогда больший угол $B$ (или $D$) есть $55^{\circ}+70^{\circ}=125^{\circ}.$

Ответ: $125.$ 

Речь идет о соседних углах параллелограмма, так как противоположные углы параллелограмма равны.

Пусть $\angle A=7x,$ тогда $\angle B=11x.$

Так как по свойству параллелограмма сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, то

$7x+11x=180^{\circ};$

$18x=180^{\circ};$

$x=10^{\circ}.$

Тогда больший угол параллелограмма – $11\cdot 10^{\circ},$ то есть $110^{\circ}.$

Ответ: $110.$ 

Решение: [spoiler]

$\angle CAD=5^{\circ},\angle CAB=38^{\circ}.$

$\angle A=5^{\circ}+38^{\circ}=43^{\circ}.$

Тогда

$\angle B=180^{\circ}-43^{\circ}=137^{\circ}.$

Ответ: $137.$ 

$P=2(AB+AD);$

$70=2(AB+AD);$

$70=2(16+AD);$

$AD=19.$

Ответ: $19.$ 

Пусть $AD=9x,AD=11x.$

Тогда

$40=2(9x+11x);$

$x=1.$

Откуда $AB=11x=11.$

Ответ: $11.$ 

По свойству биссектрисы угла параллелограмма $AB=AE$ и $CD=DE.$

Поскольку $AB=9,$ то $AD=AE+DE=9+9=18.$

Ответ: $18.$ 

Из треугольника $AOD:$

$\angle O=180^{\circ}-(\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle D}{2});$

$\angle O=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}.$

Ответ: $90.$ 

Треугольник $ALD$ – равнобедренный ($AD=AL$) по свойству биссектрисы угла параллелограмма.

Так как $AL:LB=3:4$, то пусть $AL=3x,\;LB=4x.$

Тогда $AB=CD=7x$ и $AD=3x,$ ($BC=3x.$)

Поскольку периметр параллелограмма равен $55,$ то составим уравнение:

$2(7x+3x)=55;$

$x=\frac{11}{4}.$

Откуда

$AB=CD=7x=\frac{7\cdot 55}{20}=19,25.$

Ответ: $19,25.$ 

Работаем в треугольнике $ADH:$

$sinA=\frac{HD}{AD}=\frac{3}{4}.$

Далее, так как углы $A$ и $B$ дают в сумме $180^{\circ},$ то

$sinB=sin(180^{\sirc}-\angle A)=sin\angle A=\frac{3}{4}=0,75.$

Ответ: $0,75.$ 

Так как противоположные углы в параллелограмме равны, то $sinC=sinA.$

В треугольнике $ADH$   $sinA=\frac{5}{7}=\frac{HD}{AD},$где $HD$ – высота, опущенная на сторону $AB.$

Итак,

$\frac{5}{7}=\frac{HD}{7};$

$HD=5.$

Ответ: $5.$ 

В параллелограмме больше та высота, что проведена к меньшей стороне. Будем искать высоту $HD.$

В треугольнике $AHD:$

$sinA=\frac{HD}{AD};$

$\frac{6}{7}=\frac{HD}{14};$

$HD=12.$

Ответ: $12.$ 

$S=AB\cdot AD\cdot sinA;$

$12=4\cdot 8\cdot sinA;$

$sinA=\frac{3}{8}.$

Большая сторона параллелограмма – та, что проведена к меньшей стороне. В нашем случае это $DH$ (см. рис.)

Треугольник $ADH:$

$sin A=\frac{HD}{AD};$

$\frac{3}{8}=\frac{HD}{8};$

$HD=3.$

Ответ: $3.$ 

Так как $cosB=cos(180^{\circ}-A)=-cosA$, то $cosB$ найдем как только будем знать $cosA.$

Из основного тригонометрического тождества $cosA=\sqrt{1-sin^2A}.$

(Заметим, – вообще говоря, из $sin^2x+cos^2x=1$ следует $cosx=\pm\sqrt{1-sin^2x}$, но поскольку у нас угол $A$ острый, то $cosA$ положителен).

Итак,

$cosA=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{561}}{25})^2}=\sqrt{\frac{625-561}{625}}=\frac{8}{25}=0,32.$

Тогда $cosB=-0,32.$

Ответ: $-0,32.$ 

Пусть стороны – $a$ и $b.$

$S_{pr}=ab;$

$S_{parall}=ab\cdot sin\alpha,$

где $\alpha$ – угол между соседними сторонами параллелограмма.

По условию $2S_{parall}=S_{pr}.$ Тогда

$2ab\cdot sin\alpha=ab;$

$sin\alpha=\frac{1}{2};$

$\alpha=30^{\circ}.$

Ответ: $30.$ 

$S_{BCE}=\frac{BC\cdot CE\cdot sinC}{2}.$

$S_{ABCD}=BC\cdot CD\cdot sinC=BC\cdot (2CE)\cdot sinC=4S_{BCE}.$

А поскольку $S_{ABCD}=36,$ то $S_{BCE}=9.$

Итак,

$S_{ABED}=S_{ABCD}-S_{BCE}=36-9=27.$

Ответ: $27.$ 

Пуст угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$  – $\alpha.$

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot sin\alpha.$

$A_1B_1$ – средняя линия треугольника $ADC,$ откуда $A_1B_1=\frac{AC}{2}$ и $A_1B_1\parallel AC.$

Аналогично $A_1D_1$ – средняя линия треугольника $ADB,$ откуда $A_1D_1=\frac{AB}{2}$ и $A_1D_1\parallel AB.$

Очевидно, $\angle B_1A_1D_1=\alpha.$

Итак,

$S_{A_1B_1C_1D_1}=A_1B_1\cdot A_1D_1\cdot sin B_1A_1D_1=\frac{AC\cdot DB\cdot sin \alpha}{4}=\frac{1}{2}\cdot S_{ABCD}=$

$=\frac{1}{2}\cdot 120=60.$

Ответ: $60.$

Из прямоугольного треугольника, выделенного зеленым цветом, по теореме Пифагора $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5;$

Ответ: 5. 

Пусть $E,F,K,T$ – середины сторон $AD,DC,CD,AD$ соответственно.

Пусть $AC=8,BD=10.$

$EF$ – средняя линия треугольника $ADC,$ значит $EF=\frac{AC}{2}=4.$

$KT$ – средняя линия треугольника $ABC,$ значит $KT=\frac{AC}{2}=4.$

$FK$ – средняя линия треугольника $DCB,$ значит $FK=\frac{BD}{2}=5.$

$ET$ – средняя линия треугольника $ABD,$ значит $ET=\frac{BD}{2}=5.$

Итак, $P_{EFKT}=2(4+5)=18.$

Ответ: $18.$