Задача 1. Найдите хорду, на которую опирается угол $30^{\circ},$ вписанный в окружность радиуса $8.$

Решение: + показать

Пусть $O$ – центр окружности, $\angle ABC=30^{\circ}.$
Вписанный угол $AOC$ равен $60^{\circ}.$ При этом ($R=AO=CO$) треугольник $AOC$ – равнобедренный. Стало быть, он и равносторонний и $AO=CO=AC=8.$
Ответ: $8.$
Задача 2. Найдите хорду, на которую опирается угол $120^{\circ},$ вписанный в окружность радиуса $39\sqrt3.$

Решение: + показать
Пусть $\angle ABC=120^{\circ}.$ Тогда дуга $AC$ равна $240^{\circ},$ дуга $ABC$ равна $360^{\circ}-240^{\circ},$ то есть $120^{\circ}.$
Угол $AOC$ – центральный угол, опирающийся на дугу, равную $120^{\circ}.$ Стало быть, $\angle AOC=120^{\circ}.$
По теореме косинусов для треугольника $AOC:$
$AC^2=AO^2+CO^2-2AO\cdot CO\cdot cos120^{\circ};$
$AC^2=2\cdot (39\sqrt3)^2-2\cdot (39\sqrt3)^2\cdot (-\frac{1}{2});$
$AC=117.$
Ответ: $117.$
Задача 3. Хорда $AB$ делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как $29:43.$ Под каким углом видна эта хорда из точки $C$, принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Пусть дуга $AB$ есть $29x,$ а дуга $ACB$ – $43x.$
Тогда
$29x+43x=360^{\circ};$
$x=5^{\circ}.$
Стало быть, хорда $AB$ видна из точки $C$ под углом $29\cdot 5^{\circ},$ а именно $145^{\circ}.$
Ответ: $145.$
Задача 4. Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $94^{\circ}.$ Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку $B.$ Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Пусть $K$ – точка касания окружности и $BC.$

Угол $AOK$ – центральный, опирающийся на дугу, равную $94^{\circ},$ стало быть, $\angle AOK=94^{\circ}.$
Треугольник $AOK$ – равнобедренный, $\angle AOK=94^{\circ},$ значит $\angle AKO=\angle KAO=\frac{180^{\circ}-94^{\circ}}{2}=43^{\circ}.$
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $\angle OKC=90^{\circ}.$ Тогда $\angle AKC=90^{\circ}-43^{\circ}=47^{\circ}.$
Ответ: $47.$
Задача 5. Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Угол $CAB$ равен $59^{\circ}.$ Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
По свойству отрезков касательных $AC=BC.$ То есть треугольник $ABC$ – равнобедренный и $\angle CAB=\angle CBA=59^{\circ}.$
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть
$\angle OBC=\angle OAC= 90^{\circ}.$
Тогда
$\angle OAB=\angle ABO=90^{\circ}-59^{\circ}=31^{\circ}.$
Наконец,
$\angle AOB=180^{\circ}-(31^{\circ}+31^{\circ})=118^{\circ}.$
Ответ: $118.$
Задача 6. Касательные $CA$ и $CB$ к окружности образуют угол $ACB,$ равный $82^{\circ}.$ Найдите величину меньшей дуги $AB,$ стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть
$\angle OBC=\angle OAC= 90^{\circ}.$
Из четырехугольника $OACB:$
$\angle O=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}+82^{\circ})=98^{\circ}.$
Тогда и дуга $AB,$ на которую опирается центральный угол $O,$ равный $98^{\circ},$ равна $98^{\circ}.$
Ответ: $98.$
Задача 7. Через концы $A,$ $B$ дуги окружности в $66^{\circ}$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Центральный угол $AOB$ опирается на дугу $AB,$ равную $66^{\circ},$ поэтому равен $66^{\circ}.$
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть
$\angle OBC=\angle OAC= 90^{\circ}.$
Из четырехугольника $OACB:$
$\angle ACB=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}+66^{\circ})=114^{\circ}.$
Ответ: $114.$
Задача 8. Найдите угол $ACO,$ если его сторона $CA$ касается окружности, $O$ — центр окружности, а меньшая дуга окружности $AB,$ заключенная внутри этого угла, равна $46^{\circ}.$ Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Центральный угол $AOB$ опирается на дугу $AB,$ равную $46^{\circ},$ поэтому равен $46^{\circ}.$
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть
$\angle OAC=90^{\circ}.$
Тогда из треугольника $OAC:$
$\angle ACO=180^{\circ}-(90^{\circ}+46^{\circ})=44^{\circ}.$
Ответ: $44.$
Задача 9. Угол $ACO$ равен $31^{\circ},$ где $O$ — центр окружности. Его сторона $CA$ касается окружности. Найдите величину меньшей дуги $AB$ окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть
$\angle OAC=90^{\circ}.$
Из треугольника $OAC:$
$\angle AOC=180^{\circ}-(90^{\circ}+31^{\circ})=59^{\circ}.$
Центральный угол $AOB,$ равный $59^{\circ},$ опирается на дугу $AB.$ Значит на дугу $AB$ приходится $59^{\circ}.$
Ответ: $59.$
Задача 10. Угол $ACO$ равен $34^{\circ}$. Его сторона $CA$ касается окружности. Найдите градусную величину дуги $AD$ окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть
$\angle OAC=90^{\circ}.$
Из треугольника $OAC:$
$\angle AOC=180^{\circ}-(90^{\circ}+34^{\circ})=56^{\circ}.$
Углы $DOA$ и $AOC$ – смежные, значит
$\angle DOA=180^{\circ}-56^{\circ}=124^{\circ}.$
Центральный угол $DOA,$ равный $124^{\circ},$ опирается на дугу $AD.$ Значит на дугу $AD$ приходится $124^{\circ}.$
Ответ: $124.$

Вы может пройти тест
Добавить комментарий