01. Касательная, хорда, секущая

Пусть $O$ – центр окружности, $\angle ABC=30^{\circ}.$

Вписанный угол $AOC$ равен $60^{\circ}.$  При этом ($R=AO=CO$) треугольник $AOC$ – равнобедренный. Стало быть, он и равносторонний и $AO=CO=AC=8.$

Ответ: $8.$ 

Пусть  $\angle ABC=120^{\circ}.$ Тогда дуга $AC$  равна $240^{\circ},$ дуга $ABC$ равна $360^{\circ}-240^{\circ},$ то есть $120^{\circ}.$

Угол $AOC$ – центральный угол, опирающийся на дугу, равную $120^{\circ}.$ Стало быть, $\angle AOC=120^{\circ}.$

По теореме косинусов для треугольника $AOC:$

$AC^2=AO^2+CO^2-2AO\cdot CO\cdot cos120^{\circ};$

$AC^2=2\cdot (39\sqrt3)^2-2\cdot (39\sqrt3)^2\cdot (-\frac{1}{2});$

$AC=117.$

Ответ: $117.$ 

Пусть дуга $AB$ есть $29x,$ а дуга $ACB$ – $43x.$

Тогда

$29x+43x=360^{\circ};$

$x=5^{\circ}.$

Стало быть, хорда $AB$ видна из точки $C$ под углом $29\cdot 5^{\circ},$ а именно $145^{\circ}.$

Ответ: $145.$ 

Пусть $K$ – точка касания окружности и $BC.$

Угол $AOK$ – центральный, опирающийся на  дугу, равную $94^{\circ},$ стало быть, $\angle AOK=94^{\circ}.$

Треугольник $AOK$ – равнобедренный, $\angle AOK=94^{\circ},$ значит $\angle AKO=\angle KAO=\frac{180^{\circ}-94^{\circ}}{2}=43^{\circ}.$

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $\angle OKC=90^{\circ}.$ Тогда $\angle AKC=90^{\circ}-43^{\circ}=47^{\circ}.$

Ответ: $47.$ 

По свойству отрезков касательных $AC=BC.$ То есть треугольник $ABC$ – равнобедренный и $\angle CAB=\angle CBA=59^{\circ}.$

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть

$\angle OBC=\angle OAC= 90^{\circ}.$

Тогда

$\angle OAB=\angle ABO=90^{\circ}-59^{\circ}=31^{\circ}.$

Наконец,

$\angle AOB=180^{\circ}-(31^{\circ}+31^{\circ})=118^{\circ}.$

Ответ: $118.$ 

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть

$\angle OBC=\angle OAC= 90^{\circ}.$

Из четырехугольника $OACB:$

$\angle O=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}+82^{\circ})=98^{\circ}.$

Тогда и дуга $AB,$ на которую опирается центральный угол $O,$ равный $98^{\circ},$ равна $98^{\circ}.$

Ответ: $98.$ 

Центральный угол $AOB$ опирается на дугу $AB,$ равную $66^{\circ},$ поэтому равен $66^{\circ}.$

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть

$\angle OBC=\angle OAC= 90^{\circ}.$

Из четырехугольника $OACB:$

$\angle ACB=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}+66^{\circ})=114^{\circ}.$

Ответ: $114.$ 

Центральный угол $AOB$ опирается на дугу $AB,$ равную $46^{\circ},$ поэтому равен $46^{\circ}.$

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть

$\angle OAC=90^{\circ}.$

Тогда из треугольника $OAC:$

$\angle ACO=180^{\circ}-(90^{\circ}+46^{\circ})=44^{\circ}.$

Ответ: $44.$ 

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть

$\angle OAC=90^{\circ}.$

Из треугольника $OAC:$

$\angle AOC=180^{\circ}-(90^{\circ}+31^{\circ})=59^{\circ}.$

Центральный угол $AOB,$ равный $59^{\circ},$ опирается на дугу $AB.$ Значит  на дугу $AB$ приходится $59^{\circ}.$

Ответ: $59.$ 

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть

$\angle OAC=90^{\circ}.$

Из треугольника $OAC:$

$\angle AOC=180^{\circ}-(90^{\circ}+34^{\circ})=56^{\circ}.$

Углы $DOA$ и $AOC$ – смежные, значит

$\angle DOA=180^{\circ}-56^{\circ}=124^{\circ}.$

Центральный угол $DOA,$ равный $124^{\circ},$ опирается на дугу $AD.$ Значит  на дугу $AD$ приходится $124^{\circ}.$

Ответ: $124.$