Разбор заданий резервного дня сдачи ЕГЭ по математике от 28 июня 2017

Елена Репина 2017-07-03 2018-09-21

Разбор отдельных заданий части С. Резервный день, 28 июня 2017

13.1. а) Решите уравнение $log_2(x^2-14x)=5.$

б) Найдите корни уравнения из отрезка $[log_30,1;5\sqrt 10].$

14.1. В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB=13,PB=15,cosPBA=\frac{48}{65}$ . Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$ . Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $PABC$ .

Решение: + показать

15.1. Решить неравенство

$9^{4x-x^2-1}-36\cdot 3^{4x-x^2-1}+243\geq 0.$

Видеорешение + показать

Решение: + показать

15.2. Решите неравенство $\frac{1}{3^x-1}+\frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}\geq 3^{x+1}.$

Решение: + показать

16.1. Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$ , касается ее боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=8MB$ и $DN=2CN.$

а) Докажите, что $AD=4BC.$

б) Найдите длину отрезка $MN$ , если радиус окружности равен $\sqrt6$ .

Решение: + показать

16.2. В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$ .

а) Докажите, что $sin AOD=sinBOC.$

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^{\circ}$ , а основания равны $5$ и $7$ .

Решение: + показать

17.1. Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему $200$ рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — $300$ рублей.

Вадим готов выделять $1 200 000$ рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение: + показать

18.1. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

$x\sqrt{x-a}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ .

Решение: + показать

18.2. Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} &(y^2-xy+x-3y+2)\sqrt{x+3}=0,& &a-x-y=0;& \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Решение: + показать

19.1. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа $1923$ получается число $110911253$ ).

а) Приведите пример числа, из которого получается $2108124117$ .

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $374944128$ ?

в) Какое наибольшее число, кратное $11$ , может получиться из трехзначного числа?

Решение: + показать

19.2. Последовательность $a_1,a_2,...,a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$ -го. Известно, что $M_1=7,M_2=6.$