02. Составные многогранники. Площадь поверхности. Объем

Площадь поверхности многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда  с измерениями $3,$ $3$ и $2$ и двух площадей квадратов $1$х$1.$

$S=2\cdot 3\cdot 3 +4\cdot 3\cdot 2-2\cdot 1\cdot 1=40.$

Если подробнее, – то так:

Идем “по слоям”. “Передвигаем” оранжевый фронтальный прямоугольник с размерами $1$x$3$  в плоскость второго оранжевого  прямоугольника $1$x$3$. Тогда вместе эти оранжевые прямоугольники повторяют задний фронтальный слой $2$x$3.$ Аналогично собираем горизонтальные желтые и вертикальные голубые слои. Перед нами три одинаковые пары фигур, что составляют поверхность.

Ответ: $40.$

Площадь поверхности указанного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями $3$x$5$x$5.$

$S=2\cdot 5\cdot 5+4\cdot 5\cdot 3=110.$

Ответ: $110.$

Идем “по слоям”. “Совмещаем” все горизонтальные слои до одной плоскости, все фронтальные до одной и все вертикальные.

Площадь поверхности указанного многогранника состоит из трех пар фигур:

$S=2((4\cdot 7-2\cdot 2)+(6\cdot 7-3\cdot 2)+(4\cdot 6-2\cdot 3))=156.$

Ответ: $156.$

Площадь поверхности оставшейся части куба есть сумма площади поверхности куба (ребро $1$) и площади боковой поверхности призмы,  уменьшенная на двойную площадь квадрата (со стороной $0,4$).

$S=6\cdot 1\cdot 1+4\cdot 0,4\cdot 1-2\cdot 0,4\cdot 0,4=7,28.$

Ответ: $7,28.$

При увеличении всех ребер в $6$ раз площадь каждой грани изменится в $36$ раз, поэтому и сумма площадей всех граней (площадь поверхности) увеличенного октаэдра будет в $36$ раз больше площади поверхности исходного октаэдра.

Ответ: $36.$

Поверхность искомого многогранника состоит из 8 граней –  треугольников.

Площадь каждого  такого треугольников из пары (на рисунке выделены одним цветом) в $4$ раза меньше  площади соответсвующей грани тетраэдра.

Тогда (подробнее смотри в видео) сумма площадей граней многогранника есть  половина поверхности тетраэдра. То есть $S=0,5.$

Ответ: $0,5.$

Объем данного пространственного креста – есть $7$ объемов единичных кубов. Поэтому $V=7\cdot 1^3=7.$

Ответ: $7.$

Объем данного многогранника  – есть объем прямоугольного параллелепипеда  с измерениями $3,$ $6$ и $2$ без объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями $1, 2, 2.$

$V=3\cdot 6\cdot 2-1\cdot 2\cdot 2=32.$

Ответ: $32.$

Объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра – разность объемов исходного тетраэдра и объемов четырех тетраэдров, объем каждого из которых составляет $\frac{1}{8}$  объема исходного тетраэдра (так как объемы подобных тел относятся друг к другу как куб коэффициента подобия).

Итак,

$V=1,5-4\cdot\frac{1,5}{8}=0,75.$

Ответ: $0,75.$

Объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,\;B,\;C,\;A_1,\;C_1$  правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, есть разность объемов призмы $ABCA_1B_1C_1$ и тетраэдра $A_1B_1C_1B$:

$V=3\cdot 7-\frac{3\cdot 7}{3}=14.$

Ответ: $14.$