
В этой и следующих 2 (призма, призма II), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 7 (конус), 8 (шар) статьях мы будем разбирать Задачи №8 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.
А сейчас работаем с четырехугольными призмами. И для начала …
Видео 1 2 3 "Построение сечений куба"
Куб
Задача 1.
Площадь поверхности куба равна 1568. Найдите его диагональ.

Решение: + показать
Площадь поверхности куба с ребром
равна
.
По условию площадь поверхности куба равна 1568, поэтому


Нам же требуется найти диагональ куба (
, например).
Из 


Из 


Итак, 
Ответ: 28.
Задача 2.
Объем куба равен 125. Найдите площадь его поверхности.

Решение: + показать
Объем куба с ребром
есть 
По условию объем куба равен 125, поэтому


Площадь поверхности куба с ребром
равна
.
Поэтому площадь поверхности куба есть 
Ответ: 150.
Задача 3.
Диагональ куба равна
. Найдите его объем.

Решение: + показать
Как мы знаем из задачи 1, диагональ куба с ребром
есть 
По условию диагональ куба равна
Поэтому



Объем куба с ребром
есть
то есть 
Ответ: 8.
Задача 4.
Если каждое ребро куба увеличить на 9, то его площадь поверхности увеличится на 594. Найдите ребро куба.

Решение: + показать
Пусть ребро исходного куба равно
, тогда ребро увеличенного куба равно 
Так как площадь поверхности куба с ребром
равна
, то
разность площадей поверхностей кубов есть

По условию разность площадей поверхностей кубов равна 594, поэтому



Ответ: 1.
Задача 5.
Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Решение: + показать
Пусть ребро исходного куба –
, тогда его объем –
.
Куб с ребром, большим в 10 раз исходного, –
тогда его объем – 
Отношение объемов нового куба и исходного:

Объем куба, если его ребра увеличить в девять раз, увеличится в 1000 раз.
P.S. Нет необходимости каждый раз проделывать такие выкладки. Достаточно усвоить, что если речь идет об объеме, то есть имеем дело со степенью 3, то увеличение ребра куба в
раз влечет за собой увеличение объема в
раз.
Ответ: 1000.
Задача 6.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в 23 раза?

Решение: + показать
Пусть ребро исходного куба –
, тогда площадь его поверхности –
.
Куб с ребром, большим в 23 раза исходного, –
тогда площадь его поверхности – 
Отношение площадей поверхностей нового куба и исходного:

Площадь поверхности куба, если его ребра увеличить в 23 раза, увеличится в 529 раз.
P.S. Опять же, как и в предыдущей задаче, нет необходимости каждый раз проделывать такие выкладки. Достаточно усвоить, что если речь идет о площади поверхности, то есть имеем дело со степенью 2, то увеличение ребра куба в
раз влечет за собой увеличение площади поверхности в
раз.
Ответ: 529.
Задача 7.
Объем одного куба в 1728 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Решение: + показать
1) Пусть ребро большего куба –
ребро меньшего куба – 
2) Так как по условию отношение объемов равно 1728, то



3) Наконец, отношение площадей поверхностей таково:

Ответ: 144.
Задача 8.
В куб вписан шар радиуса 8,5. Найдите объем куба.

Решение: + показать
Параллелепипед
Если вы подзабыли, что есть параллелепипед, – загляните сюда.
Задача 1.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 6. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 138. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение: + показать
Задача 2.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 72 и 18. Диагональ параллелепипеда равна 78. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать
При решении задачи 1 части 1 (там фигурирует куб, но принцип поиска диагонали прямоугольного параллелепипеда аналогичен принципу поиска диагонали куба) хорошо видно, что
,
где
– ребра параллелепипеда,
–диагональ.
Исходя их условия, получаем: 
Откуда





Объем
параллелепипеда с ребрами
есть
то есть

Ответ: 31104.
Задача 3.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать
Высота прямоугольного параллелепипеда равна высоте цилиндра, то есть 6.
Раз основание цилиндра вписано в основание прямоугольного параллелепипеда, то в основании параллелепипеда – квадрат. И поскольку радиус основания цилиндра равен 6, то стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12.
Итак, 
Ответ: 864.
Задача 4.
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 21. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 3. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать
Объем
прямоугольного параллелепипеда (прямой призмы) равен
, где
– высота призмы (в данном случае – ребро, перпендикулярное грани, площадь которой известна).
Поэтому, 
Ответ: 63.
Задача 5.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
и образует углы 30°, 30° и 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать
Задача 6.
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 60°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать
Задача 7.
Найдите объем параллелепипеда
, если объем треугольной пирамиды
равен 3.

Решение: + показать
Пусть основание параллелепипеда –
.
Объем параллелепипеда
есть
,
где
– высота параллелепипеда.
Объем же пирамиды
есть

(высота у пирамиды такая же, что и у параллелепипеда)
При этом основание пирамиды – половина основания параллелепипеда:

Итак, получаем, что объем параллелепипеда есть 6 объемов пирамиды, то есть объем параллелепипеда равен 18.
Ответ: 18.
Время передохнуть, неправда ли? –>+ показать

Вы можете пройти тест по Задачам №8 (куб, параллелепипед).
6-я задача довольно сложная… так и не разобрался с этими гранями и рёбрами…
Давайте разбираться! Где застряли?
да я не то чтобы застрял… ваше решение вполне понятно, но сам я с ходу не смог понять условие… В условии сказано “Гранью параллелепипеда является ромб…” но таких граней у параллелепипеда шесть.
Ну да, любую грань можно счесть за основание, ведь площадь его (основания) фигурирует в объеме. Нам удобнее взять именно ту грань, о которой говорится в условии..
7-я задача “Итак, получаем, что объем параллелепипеда есть 6 объемов пирамиды, то есть объем параллелепипеда равен 54.”
3 * 6 = 54 (?)
:lol: :lol:
Пожалуйста, помогите разобраться с задачей! “В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DB1=корень из 26, AA1=1, D1B1=3. Найдите длину ребра CD”. И почему DD1B1 – не прямоугольный треугольник?
Василиса, треугольник DD1B1 – прямоугольный, коль имеем дело с прямоугольным параллелепипедом. Пересмотрите, верно ли вами переписано условие задачи.
Все именно так :( И если бы этот треугольник был бы прямоугольным, то диагональ DB1 равнялась бы корню из 10, так ведь? А тут корень из 26.
Вообще нет необходимости давать все стороны прямоугольного треугольника, согласитесь. Откуда задача?
“Типовые экзаменационные варианты” (2015) , И. В. Ященко, вариант 18
Да, посмотрела задание в оригинале. Очевидно, опечатка допущена в условии. Не берите в голову.
Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объём увеличится на 387. Найдите ребро куба.
Подскажите, пожалуйста – здесь нужно коэффициент подобия применять?
Посмотрите решение задачи №4. Действуйте аналогичным образом.
Не совсем понятна последняя задача. Можете пояснить, пожалуйста?
Лена, уточните, что именно непонятно. Я уточню.
Вроде я подробно написала решение. Если опишу опять, то примерно также…
S_{osnovanieADB=\frac{1}{2}S_{osnovanieABC}
Итак, получаем, что объем параллелепипеда есть 6 объемов пирамиды, то есть объем параллелепипеда равен 18. Не поняла, из чего это следует)
Уже решила, спасибо❇
Ну вот и славно))