Главная
Справочник
Видеоуроки
Тесты
Статьи
Архив
Карта сайта
Контакты
В этой и следующих 2 (призма, призма II), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 7 (конус), 8 (шар) статьях мы будем разбирать Задачи №8 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.
А сейчас работаем с четырехугольными призмами. И для начала …
Куб
Задача 1.
Площадь поверхности куба равна 1568. Найдите его диагональ.
Решение: + показать
равна 
.
, например).
Задача 2.
Объем куба равен 125. Найдите площадь его поверхности.
Решение: + показать
Задача 3.
Диагональ куба равна 
. Найдите его объем.
Решение: + показать
Поэтому
то есть 
Задача 4.
Если каждое ребро куба увеличить на 9, то его площадь поверхности увеличится на 594. Найдите ребро куба.
Решение: + показать
Задача 5.
Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?
Решение: + показать
.
тогда его объем – 
раз влечет за собой увеличение объема в 
раз.Задача 6.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в 23 раза?
Решение: + показать
тогда площадь его поверхности – 
раз.Задача 7.
Объем одного куба в 1728 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Решение: + показать
ребро меньшего куба – 
Задача 8.
В куб вписан шар радиуса 8,5. Найдите объем куба.
Решение: + показать
с ребром 
Параллелепипед
Если вы подзабыли, что есть параллелепипед, – загляните сюда.
Задача 1.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 6. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 138. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Решение: + показать
, искомое ребро – 
.
параллелепипеда
находится по формуле
Задача 2.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 72 и 18. Диагональ параллелепипеда равна 78. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: + показать
,
–диагональ.
то есть
Задача 3.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: + показать
Задача 4.
Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 21. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 3. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: + показать
, где 
– высота призмы (в данном случае – ребро, перпендикулярное грани, площадь которой известна).
Задача 5.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 
и образует углы 30°, 30° и 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: + показать
– есть угол 
, так как 
– проекция наклонной 
– есть угол 
так как 
– проекция наклонной 
– есть угол 
(если градусные меры углов распределяться иначе (в другом порядке), – это никак не повлияет на решение).
– равнобедренный с гипотенузой 
поэтому его катеты равны 
(например потому, что 
, откуда 
).
Задача 6.
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 60°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: + показать
) с заданной стороной 
есть 
) и гранью основания (
, где 
на 
Задача 7.
Найдите объем параллелепипеда 
, если объем треугольной пирамиды 
равен 3.
Решение: + показать
.
есть
,
есть
Время передохнуть, неправда ли? –>+ показать
Вы можете пройти тест по Задачам №8 (куб, параллелепипед).
6-я задача довольно сложная… так и не разобрался с этими гранями и рёбрами…
Давайте разбираться! Где застряли?
да я не то чтобы застрял… ваше решение вполне понятно, но сам я с ходу не смог понять условие… В условии сказано “Гранью параллелепипеда является ромб…” но таких граней у параллелепипеда шесть.
Ну да, любую грань можно счесть за основание, ведь площадь его (основания) фигурирует в объеме. Нам удобнее взять именно ту грань, о которой говорится в условии..
7-я задача “Итак, получаем, что объем параллелепипеда есть 6 объемов пирамиды, то есть объем параллелепипеда равен 54.”
3 * 6 = 54 (?)
😆 😆
Пожалуйста, помогите разобраться с задачей! “В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DB1=корень из 26, AA1=1, D1B1=3. Найдите длину ребра CD”. И почему DD1B1 – не прямоугольный треугольник?
Василиса, треугольник DD1B1 – прямоугольный, коль имеем дело с прямоугольным параллелепипедом. Пересмотрите, верно ли вами переписано условие задачи.
Все именно так 🙁 И если бы этот треугольник был бы прямоугольным, то диагональ DB1 равнялась бы корню из 10, так ведь? А тут корень из 26.
Вообще нет необходимости давать все стороны прямоугольного треугольника, согласитесь. Откуда задача?
“Типовые экзаменационные варианты” (2015) , И. В. Ященко, вариант 18
Да, посмотрела задание в оригинале. Очевидно, опечатка допущена в условии. Не берите в голову.
Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объём увеличится на 387. Найдите ребро куба.
Подскажите, пожалуйста – здесь нужно коэффициент подобия применять?
Посмотрите решение задачи №4. Действуйте аналогичным образом.
Не совсем понятна последняя задача. Можете пояснить, пожалуйста?
Лена, уточните, что именно непонятно. Я уточню.
Вроде я подробно написала решение. Если опишу опять, то примерно также…
S_{osnovanieADB=\frac{1}{2}S_{osnovanieABC}
Итак, получаем, что объем параллелепипеда есть 6 объемов пирамиды, то есть объем параллелепипеда равен 18. Не поняла, из чего это следует)
Уже решила, спасибо❇
Ну вот и славно))