02. Куб. Параллелепипед

Покажем, что для прямоугольного параллелепипеда

$\color{red} AC_1^2=AB^2+BC^2+CC_1^2.$

Действительно, из треугольника $ABC:$

$AC^2=AB^2+BC^2$ (1)

Из треугольника $ACC_1:$

$AC_1^2=AC^2+CC_1^2$ (2)

Подставляя  (1) в (2), получаем:

$AC_1^2=AB^2+BC^2+CC_1^2.$

Итак,

$AC_1^2=21^2+16^2+12^2=441+256+144=841;$

$AC_1=29.$

Ответ: $29.$

По т. Пифагора из треугольника $ABB_1$:

$AB_1=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17.$

Значит прямоугольный треугольник $AB_1C_1$ – равнобедренный $(AB_1=B_1C_1=17.)$

Поэтому

$\angle AC_1B_1=45^{\circ}.$

Дополнение:

Почему треугольник $AB_1C_1$ прямоугольный?

Нам дан прямоугольный параллелепипед, значит ребро $C_1B_1$ перпендикулярно грани $ABB_1.$

Тогда $C_1B_1$ перпендикулярно любой прямой  плоскости $ABB_1$, в частности, $AB_1$ по свойству прямой, перпендикулярной плоскости

Ответ: $45.$

Угол между скрещивающимися прямыми $CD$, $A_1C_1$ – это угол между $C_1D_1$ и $A_1C_1,$ так как $C_1D_1\parallel CD.$

Из треугольника $A_1C_1D_1:$

$sinA_1C_1D_1=\frac{A_1D_1}{A_1C_1}=\frac{A_1D_1}{\sqrt{A_1D_1^2+D_1C_1^2}}=\frac{12}{\sqrt{12^2+16^2}}=\frac{12}{20}=0,6.$

Ответ: $0,6.$

Для куба с ребром $a$ площадь поверхности $S$ такова:

    $S=6a^2$.

Поэтому, согласно условию

$6a^2=1568;$

$a=\sqrt{\frac{1568}{6}}=\sqrt\frac{784}{3};$

Нам же требуется найти диагональ куба ($B_1D$, например).

$B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2$ (см. задачу 1)

$B_1D=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3.$

Итак,

$B_1D=a\sqrt3=\sqrt\frac{784}{3}\cdot \sqrt3=28.$

Ответ: $28.$

 Для  куба с ребром $a$

$V=a^3.$

По условию объем куба равен $125$, поэтому

$a^3=125;$

$a=5.$

Для куба с ребром $a$ площадь поверхности $S$ такова:

    $S=6a^2$.

Поэтому

$S=6a^2=6\cdot 5^2=150.$

Ответ: $150.$

Как мы знаем из задачи 1, диагональ $d$ куба с ребром $a$ находится следующем образом:

$d^2=a^2+a^2+a^2;$

$d=a\sqrt3.$

По условию диагональ куба равна $\sqrt{12}.$ Поэтому

$a\sqrt3=\sqrt{12};$

$a=\frac{2\sqrt3}{\sqrt3};$

$a=2.$

Наконец,

$V=2^3=8.$

Ответ: $8.$

$V=a^3=375\sqrt3;$

$a^3=5^3\cdot 3\cdot \sqrt3;$

$a^3=5^3\cdot {\sqrt3}^3;$

$a=5\sqrt3.$

Как мы знаем из задачи 1, диагональ $d$ куба с ребром $a$ находится следующем образом:

$d^2=a^2+a^2+a^2;$

$d=a\sqrt3.$

Поэтому

$d=a\sqrt3=5\sqrt\cdot \sqrt3=15.$

Ответ: $15.$

Если ребро куба увеличить в $10$ раз, то получим куб, подобный первоначальному (с коэффициентом подобия $k=10$). Объемы подобных тел находятся в отношении $k^3,$ где $k$ – коэффициент подобия. Таким образом, объем увеличится в $1000$ раз.

Ответ: $1000.$

Пусть ребро исходного куба равно $a$, тогда ребро увеличенного куба равно $(a+9),$ площадь поверхности – $6(a+9)^2.$

Так как площадь поверхности куба с ребром $a$ равна $6a^2$, то

разность площадей поверхностей кубов есть

$6(a+9)^2-6a^2=6((a+9)^2-a^2)=6(a+9-a)(a+9+a)=54(2a+9).$

По условию разность площадей поверхностей кубов равна 594, поэтому

$594=54(2a+9);$

$11=2a+9;$

$a=1.$

Ответ: $1.$

Если ребро куба увеличить в $23$ раза, то получим куб, подобный первоначальному (с коэффициентом подобия $k=23$). Площади поверхностей подобных тел находятся в отношении $k^2,$ где $k$ – коэффициент подобия. Таким образом, площадь поверхности увеличится в $529$ раз.

Ответ: $529.$

Объемы подобных тел находятся в отношении $k^3,$ где $k$ – коэффициент подобия.

Тогда

$k^3=1728;$

$k=12.$

Площади поверхностей подобных тел находятся в отношении $k^2,$ где $k$ – коэффициент подобия.

Поэтому площадь поверхности первого куба в $144$ раза больше площади поверхности второго.

Ответ: $144.$

Пусть известные ребра – $a$ и $b$, искомое ребро – $c$.

Площадь поверхности $S$ параллелепипеда  с ребрами $a,\;b,\;c$ находится по формуле

$S=2(ab+bc+ac).$

Подставляем в формулу известные величины:

$138=2(6+6c+c);$

$69=6+7c;$

$63=7c;$

$c=9.$

Ответ: $9.$

Для прямоугольного параллелепипеда:

$V=1\cdot 4\cdot 2=8.$

Пусть ребро куба – $a.$ Тогда

$a^3=8;$

$a=2.$

Ответ: $2.$

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2},$

где $a,\;b,\;c$ – ребра параллелепипеда, $d$ –диагональ.

Исходя их условия, получаем:

$78=\sqrt{72^2+18^2+c^2}.$

Откуда

$78=\sqrt{5508+c^2};$

$78^2=5508+c^2;$

$c^2=6084-5508;$

$c^2=576;$

$c=24.$

Объем $V$ параллелепипеда с ребрами $a,\;b,\;c$ есть  $V=abc,$ то есть

$V=72\cdot 18\cdot 24=31104;$

Ответ: $31104.$

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда  (прямой призмы) равен

$V=S_{osnovanie}\cdot H$,

где $H$ – высота призмы (в данном случае – ребро, перпендикулярное грани, площадь которой известна).

Поэтому,

$V=21\cdot 3=63.$

Ответ: $63.$

Сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A, B$  и $C_1$ – это прямоугольник $ABC_1D_1.$

$S_{ABC_1D_1}=AB\cdot BC_1=AB\cdot \sqrt{BC^2+CC_1^2}=15\cdot \sqrt{12^2+16^2}=300.$

Ответ: $300.$

Пусть рассматриваемая диагональ – $B_1D$.

Угол между диагональю $B_1D$ и плоскостью нижнего основания $ABC$  – есть угол $B_1DB$, так как $BD$ – проекция наклонной $B_1D$ на плоскость основания.

Угол между диагональю $B_1D$ и плоскостью боковой грани $DD_1C_1$  – есть угол $B_1DC_1,$ так как $DC_1$ – проекция наклонной $B_1D$ на плоскость $DD_1C_1$.

Аналогично угол между диагональю $B_1D$ и плоскостью грани $AA_1D_1$  – есть угол $B_1DA_1.$

Пусть $\angle B_1DB=30^{\circ},;\angle B_1DC_1=30^{\circ},\;\angle AA_1D_1=45^{\circ}$ (если градусные меры углов распределяться иначе (в другом порядке), – это никак не повлияет на решение).

Итак, в прямоугольных треугольниках $BB_1D,\;B_1DC$  против углов в $30$° лежат катеты, вдвое меньшие гипотенузы ($B_1D$), то есть $BB_1=B_1C_1=\frac{\sqrt8}{2}=\sqrt2.$

Прямоугольный треугольник $A_1B_1D$ – равнобедренный с гипотенузой $\sqrt8,$ поэтому его катеты равны $\frac{\sqrt8}{\sqrt2}=2$ (например потому, что $sin 45^{\circ}=\frac{A_1B_1}{\sqrt8}$, откуда  $\frac{\sqrt2}{2}=\frac{A_1B_1}{2\sqrt2},$ $A_1B_1=2$).

Итак, ребра прямоугольного параллелепипеда равны $\sqrt2,\;\sqrt2,\;2.$

Тогда объем параллелепипеда равен $\sqrt2\cdot \sqrt2 \cdot 2=4.$

Ответ: $4.$

Плоскость сечения ($A_1D_1K$) пересекает параллельные грани куба по параллельным отрезкам.

Поэтому четырехугольник $A_1KMD_1$ (требуемое сечение) – параллелограмм. Более того, $A_1D_1\perp D_1M$, так как $A_1D_1$перпендикулярно грани $DD_1C_1.$

А параллелограмм с прямым углом – это прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника $D_1MC_1:$

$D_1M=\sqrt{D_1C_1^2+MC_1^2};$

$D_1M=\sqrt{(2)^2+1^2}=\sqrt5.$

Так как

$S_{A_1D_1MK}=A_1D_1\cdot D_1M,$

то

$S_{A_1D_1MK}=\sqrt5\cdot \sqrt5=5.$

Ответ: $5.$

Многогранник с вершинами в точках $A,B,C,B_1$ – пирамида с основанием $ABC.$

$V_{ABCB_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\cdot 2}{2}\cdot 9=9.$

Ответ: $9.$

Пусть основание параллелепипеда – $ABCD$.

Объем параллелепипеда $V$ есть

 $V=S_{ABCD}\cdot H$,

где $H$ –  высота параллелепипеда.

Объем же пирамиды, что равен $3,$ есть

$3=\frac{1}{3}\cdot S_{ADB}\cdot H$

(высота у пирамиды такая же, что и у параллелепипеда)

Откуда

$S_{ADB}\cdot H=9.$

При этом основание пирамиды – половина основания параллелепипеда:

$S_{ABCD}=2S_{ADB}=$

Итак, получаем, что

$V=S_{ABCD}\cdot H=2S_{ADB}\cdot H=2\cdot 9=18.$

Ответ: $18.$

$AA_1DBB_1C$ – прямая треугольная призма.

$V=S_{BB_1C}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3\cdot 8=120.$

Ответ: $120.$

$V_{BCDA_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{osnov}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot AA_1=\frac{1}{3}\cdot 5\cdot 3\cdot 10=50.$

Ответ: $50.$

$V_{AD_1CB_1}=V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}-V_{AA_1D_1B_1}-V_{CC_1D_1B_1}-V_{ABCB_1}-V_{ADCD_1}=$

$=2,7-4\cdot V_{ABCB_1}=2,7-4\cdot \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot BB_1=$

$=2,7-4\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{S_{ABCD}}{2}\cdot BB_1=2,7-4\cdot \frac{1}{6}\cdot V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=$

$=2,7-\frac{2}{3}\cdot 2,7=0,9.$

Ответ: $0,9.$

Рассмотрим треугольники  $KMC,\;LKC,\;LMC$. Они прямоугольные, равнобедренные, при этом все  катеты равны половине ребра куба.

То есть треугольники равны друг другу.

Значит, равны и гипотенузы этих треугольников как соответствующие элементы равных треугольников.

То есть  треугольник $KLM$ – равносторонний, а значит $\angle MKL=60^{\circ}.$

Ответ: $60.$