Задание №14. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №15; №16; №17; №18; №19

14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причем $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$, если $AB=6, BB_1=15, B_1C_1=8.$

Решение:

а)  Пусть точка $C_1$ проецируется в точку $C$ нижнего основания.

Раз $AC_1$ пересекает ось цилиндра (назовем ее $OO_1$), пусть в некоторой точке $Z$,

то проекция этой точки $Z$ – точка $O.$ То есть $AC$ – диаметр нижнего основания.

Угол $ABC$ треугольника $ABC$ – прямой, так как опирается на диаметр $AC.$

По теореме о трех перпендикулярах $BC_1\perp AB,$ так как проекция  $BC$ наклонной $BC_1$ на плоскость нижнего основания перпендикулярна $AB.$

Что и требовалось доказать.

б) Так как $CC_1\parallel BB_1,$ то угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$ – это угол между  прямыми $CC_1$ и $AC_1.$ То есть будем искать угол $CC_1A.$

Имеем

$CB=C_1B_1=8, CC_1=BB_1=15;$

 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Из треугольника $ACC1:$

$tgCC_1A=\frac{AC}{CC_1}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$

$\angle CC_1A=arctg \frac{2}{3}.$

Ответ: б) $arctg \frac{2}{3}.$