Задание 18 ЕГЭ 2023

ЕГЭ 2023, резерв

Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  5.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p  <  10 и q  >  30?

в)  Найдите наименьшее значение p при q  >  30.

Решение:

а) Так как $x_1\cdot x_2=5,x_1\in N,x_2\in N, $ то корнями $x_1,x_2$ могут быть только числа 1 и 5. Тогда $q=x_1+x_2=6.$

б) Допустим, неравенства p  <  10 и q  >  30 выполняются.
Заметим,

$p=x_1+x_2\geq2\sqrt{x_1x_2}>2\sqrt{30}=\sqrt{120}>10.$

Итак, $p>10,$ что противоречит допустимому условию $p<10.$

Указанные в условии неравенства одновременно выполняться не могут.

в) $q>30,$ тогда, учитывая, что $q\in N,$ получаем $q\geq 31.$

Имеем:

$p=x_1+x_2\geq2\sqrt{x_1x_2}\geq 2\sqrt{31}=\sqrt{124}>11.$

Итак, $p>11.$

Пусть $p=12.$ Попробуем подобрать $q>30$ из натуральных значений.

$x^2-12x+q=0;$

$x=6\pm\sqrt{36-q}.$

Возьмем на роль $q,$ например, $32.$
Тогда $x_1=8,x_2=4$ (при этом $p=12$).

Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.