16 Июл 2013

Категория: 11 Текстовые задачиТекстовые задачи

Задания №11. Задачи на прогрессию

Елена Репина 2013-07-16 2015-09-04

Среди Заданий №11 могут встретиться задачи на прогрессию. Если вы подзабыли немного эту тему, то лучше для начала загляните сюда: «Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия.

Смотрите также другие типы Задач №13 ЕГЭ по математике:
1 (на среднюю скорость), 2 (на движение по окружности), 3 (движение по воде), 4 (на работу), 5 (на движение по прямой), 7 (на смеси и сплавы).

Также смотрите видеолекцию «Текстовые задачи» здесь.
Разберем несколько задач из открытого банка заданий по математике.

Задача 1.

Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

В задаче фигурирует арифметическая прогрессия (назовем ее { $a_n$ }), так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров. Индекс $n$ отвечает за дни. Само число $a_n$ – количество покрашенных за день метров забора.

Итак, нам известно:

{ $a_n$ } – арифметическая прогрессия;

$a_1+a_n=140;$

$S_n=630$ – сумма первых n членов арифметической прогрессии;

Требуется найти $n$ .

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

$630=\frac{140}{2}\cdot n;$

$n=9;$

Ответ: 9.

Задача 2.

Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение:

Вводим арифметическую прогрессию{ $a_n$ }:

$a_1=11$ – количество решенных задач в первый день;

$n=9$ –количество дней;

$S_9=315$ – количество решенных задач за все 9 дней (сумма $9$ первых членов арифметической прогрессии);

Требуется найти $a_9$ .

Итак, $S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;$

$315=\frac{11+a_9}{2}\cdot 9;$

$35=\frac{11+a_9}{2};$

$70=11+a_9;$

$a_9=59;$

Ответ: 59.

Задача 3.

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение:

Как и в предыдущих задачах имеем дело с арифметической прогрессией.

Нам известно:

$a_1=9;$

$S_9=189;$

Требуется найти $a_5.$

Согласно формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ имеем:

$S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;$

$189=\frac{9+a_9}{2}\cdot 9;$

$42=9+a_9;$

$a_9=33;$

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$ чтобы найти разность $d$ :

$a_9=a_1+8d;$

$33=9+8d;$

$d=3;$

Тогда $a_5=a_1+4d;$

$a_5=9+4\cdot 3;$

$a_5=21;$

Ответ: 21.

Задача 4.

Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение:

Очень многие попадаются на этой задачке, считая, что в ней скрывается арифметическая прогрессия.

Нет, все хитрее. Дело в том, что прибавка прибыли – не одинакова каждый год. Каждый год $7$ % от прибыли предыдущего года в пересчет на рубли – разные величины.

В данном случае имеем дело с геометрической прогрессией { $c_n$ }.

$c_n$ – прибыль (в рублях) за $n$ -ый год ( $n=1,\;2,\;3,\;4$ , 2000-ый год считаем первым годом прибыли, 2001-ый – вторым и т.д.).

Известно следующее:

$c_1=1000000;$

$q=\frac{107}{100},$ так как увеличение на 7% – значит увеличение в $\frac{107}{100}$ раз.

Требуется узнать $c_4.$

Согласно формуле n-го члена геометрической прогрессии $c_n=c_1\cdot q^{n-1}$ имеем:

$c_4=c_1\cdot q^3;$

$c_4=1000000\cdot (\frac{107}{100})^3;$

$c_4=1225043$ – прибыль за 2003 год.

Ответ: 1225043.

Задача 5.

Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение:

У нас две геометрические прогрессии { $a_n$ } и { $b_n$ }:

1) Для компании «Альфа» $a_1=3500,\;q=2.$ Поясним… Раз прибыль составляет 100% капитала, то новый капитал составит удвоенный старый.

Нужно узнать $a_8$ для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Бетта».

$a_8=a_1\cdot q^7;$

$a_8=3500\cdot 128;$

$a_8=448000;$

2) Для компании «Бетта» $b_1=4500,\;q=4.$

Поясни, почему $q=4$ . Раз по условию прибыль составляет 300%, то новый капитал складывается из старого и утроенного старого, то есть составляет старый капитал, умноженный на 4.