09. Задачи на прогрессию

В задаче фигурирует арифметическая прогрессия (назовем ее {$a_n$}), так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров. Индекс $n$  отвечает за дни. Само число $a_n$ – количество покрашенных за день метров забора.

Итак, нам известно:

{$a_n$} – арифметическая прогрессия

$a_1+a_n=140;$

$S_n=630$ – сумма первых n членов арифметической прогрессии.

Требуется найти $n$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

$630=\frac{140}{2}\cdot n;$

$n=9;$

Ответ: $9.$ 

Вводим арифметическую прогрессию{$a_n$}:

$a_1=11$ – количество решенных задач в первый день,

$n=9$ – количество дней,

$S_9=315$ – количество решенных задач за все $9$ дней (сумма $9$ первых членов арифметической прогрессии).

Требуется найти  $a_9$.

Итак,

$S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;$

$315=\frac{11+a_9}{2}\cdot 9;$

$35=\frac{11+a_9}{2};$

$70=11+a_9;$

$a_9=59.$

Ответ: $59.$ 

Как и в предыдущих задачах имеем дело с арифметической прогрессией.

Нам известно:

$a_1=9,$   $S_9=189.$

Требуется найти $a_5.$

Согласно формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ имеем:

$S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;$

$189=\frac{9+a_9}{2}\cdot 9;$

$42=9+a_9;$

$a_9=33.$

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$ чтобы найти  разность $d$:

$a_9=a_1+8d;$

$33=9+8d;$

$d=3.$

Тогда

$a_5=a_1+4d;$

$a_5=9+4\cdot 3;$

$a_5=21.$

Ответ: $21.$ 

Очень многие попадаются на этой задачке, считая, что  в ней  скрывается арифметическая прогрессия.

Нет, все хитрее. Дело в том, что прибавка прибыли – не одинакова каждый год. Каждый год $7$% от прибыли предыдущего года  в пересчет на рубли – разные величины.

В данном случае имеем дело с геометрической прогрессией {$c_n$}.

$c_n$ – прибыль (в рублях) за $n$-ый год ($n=1,\;2,\;3,\;4$, 2000-ый год считаем первым годом прибыли, 2001-ый – вторым и т.д.).

Известно следующее:

 $c_1=1000000;$

$q=\frac{107}{100}$

(так как увеличение на  7%  – значит увеличение в $\frac{107}{100}$ раз)

Требуется узнать $c_4.$

Согласно формуле n-го члена геометрической прогрессии $c_n=c_1\cdot q^{n-1}$ имеем:

$c_4=c_1\cdot q^3;$

$c_4=1000000\cdot (\frac{107}{100})^3;$

$c_4=1225043$ – прибыль за 2003 год.

Ответ: $1225043.$ 

У нас две геометрические прогрессии {$a_n$} и {$b_n$}:

1) Для компании «Альфа» $a_1=3500,\;q=2.$ Поясним… Раз прибыль составляет 100% капитала, то новый капитал составит удвоенный старый.

Нужно узнать $a_8$ для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Бетта».

$a_8=a_1\cdot q^7;$

$a_8=3500\cdot 128;$

$a_8=448000.$

2) Для компании «Бетта» $b_1=4500,\;q=4.$

Поясни, почему $q=4$. Раз по условию прибыль составляет 300%, то новый капитал складывается из старого и утроенного старого, то есть составляет старый капитал, умноженный на $4.$

Нужно узнать $b_5$ для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Альфа».

$b_5=b_1\cdot q^4;$

$b_5=4500\cdot 256;$

$b_5=1152000.$

3) Итак, $b_5-a_8=1152000-448000=704000$ – на столько долларов капитал компании «Бетта»  был больше капитала компании «Альфа» к концу 2008 года.

Ответ: $704000.$