Задания №11. Задачи на прогрессию

2019-07-24

Среди Заданий №11 могут встретиться  задачи на прогрессию. Если вы подзабыли немного эту тему, то лучше для начала загляните сюда: «Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия.

Смотрите также другие типы Задач №13 ЕГЭ по математике:
1 (на среднюю скорость)2 (на движение по окружности)3 (движение по воде), 4 (на работу), 5 (на движение по прямой), 7 (на смеси и сплавы).

Также смотрите видеолекцию «Текстовые задачи» здесь.
Разберем несколько задач из открытого банка заданий по математике.

Задача 1. 

бригада маляровБригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

В задаче фигурирует арифметическая прогрессия (назовем ее {a_n}), так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров. Индекс n  отвечает за дни. Само число a_n – количество покрашенных за день метров забора.

Итак, нам известно:

{a_n} – арифметическая прогрессия;

a_1+a_n=140;

S_n=630 – сумма первых n членов арифметической прогрессии;

Требуется найти n.

Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

630=\frac{140}{2}\cdot n;

n=9;

Ответ: 9.

Задача 2. 

олегу надо решить 315 задачОлегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение: 

Вводим арифметическую прогрессию{a_n}:

a_1=11 – количество решенных задач в первый день;

n=9 –количество дней;

S_9=315 – количество решенных задач за все 9 дней (сумма 9 первых членов арифметической прогрессии);

Требуется найти  a_9.

Итак, S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;

315=\frac{11+a_9}{2}\cdot 9;

35=\frac{11+a_9}{2};

70=11+a_9;

a_9=59;

Ответ: 59.

Задача 3. 

турист идет из одного города в другойТурист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение:

Как и в предыдущих задачах имеем дело с арифметической прогрессией.

Нам известно:

a_1=9;

S_9=189;

Требуется найти a_5.

Согласно формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n имеем:

S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;

189=\frac{9+a_9}{2}\cdot 9;

42=9+a_9;

a_9=33;

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии a_n=a_1+(n-1)d чтобы найти  разность d:

a_9=a_1+8d;

33=9+8d;

d=3;

Тогда a_5=a_1+4d;

a_5=9+4\cdot 3;

a_5=21;

Ответ: 21.

Задача 4. 

бизнесмен плюшкин

Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

 

Решение:

Очень многие попадаются на этой задачке, считая, что  в ней  скрывается арифметическая прогрессия.

Нет, все хитрее. Дело в том, что прибавка прибыли – не одинакова каждый год. Каждый год 7% от прибыли предыдущего года  в пересчет на рубли – разные величины.

В данном случае имеем дело с геометрической прогрессией {c_n}.

c_n – прибыль (в рублях) за n-ый год (n=1,\;2,\;3,\;4, 2000-ый год считаем первым годом прибыли, 2001-ый – вторым и т.д.).

Известно следующее:

 c_1=1000000;

q=\frac{107}{100}, так как увеличение на  7%  – значит увеличение в \frac{107}{100} раз.

Требуется узнать c_4.

Согласно формуле n-го члена геометрической прогрессии c_n=c_1\cdot q^{n-1} имеем:

c_4=c_1\cdot q^3;

c_4=1000000\cdot (\frac{107}{100})^3;

c_4=1225043 – прибыль за 2003 год.

Ответ: 1225043.

Задача 5.

инвестировать средстваКомпания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: 

У нас две геометрические прогрессии {a_n} и {b_n}:

1) Для компании «Альфа» a_1=3500,\;q=2. Поясним… Раз прибыль составляет 100% капитала, то новый капитал составит удвоенный старый.

Нужно узнать a_8 для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Бетта».

a_8=a_1\cdot q^7;

a_8=3500\cdot 128;

a_8=448000;

2) Для компании «Бетта» b_1=4500,\;q=4.

Поясни, почему q=4. Раз по условию прибыль составляет 300%, то новый капитал складывается из старого и утроенного старого, то есть составляет старый капитал, умноженный на 4.

Нужно узнать b_5 для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Альфа».

b_5=b_1\cdot q^4;

b_5=4500\cdot 256;

b_5=1152000;

3) Итак, 1152000-448000=704000 – на столько долларов капитал компании «Бетта»  был больше капитала компании «Альфа» к концу 2008 года.

Ответ: 704000.

тест

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию .

 

 

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




шестнадцать − 14 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif