«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия
Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной
метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила
метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение: + показать
В задаче фигурирует арифметическая прогрессия (назовем ее {
}), так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров. Индекс
отвечает за дни. Само число
– количество покрашенных за день метров забора.
Итак, нам известно:
{
} – арифметическая прогрессия

– сумма первых n членов арифметической прогрессии.
Требуется найти
.
Воспользуемся формулой суммы
первых членов арифметической прогрессии



Ответ:
Задача 2. Олегу надо решить
задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил
задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за
дней.
Решение: + показать
Вводим арифметическую прогрессию{
}:
– количество решенных задач в первый день,
– количество дней,
– количество решенных задач за все
дней (сумма
первых членов арифметической прогрессии).
Требуется найти
.
Итак,





Ответ:
Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел
километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за
дней, а расстояние между городами составляет
километров.
Решение: + показать
Как и в предыдущих задачах имеем дело с арифметической прогрессией.
Нам известно:

Требуется найти 
Согласно формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии
имеем:




Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
чтобы найти разность
:



Тогда



Ответ:
Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на
% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?
Решение: + показать
Очень многие попадаются на этой задачке, считая, что в ней скрывается арифметическая прогрессия.
Нет, все хитрее. Дело в том, что прибавка прибыли – не одинакова каждый год. Каждый год
% от прибыли предыдущего года в пересчет на рубли – разные величины.
В данном случае имеем дело с геометрической прогрессией {
}.
– прибыль (в рублях) за
-ый год (
, 2000-ый год считаем первым годом прибыли, 2001-ый – вторым и т.д.).
Известно следующее:


(так как увеличение на 7% – значит увеличение в
раз)
Требуется узнать 
Согласно формуле n-го члена геометрической прогрессии
имеем:


– прибыль за 2003 год.
Ответ:
Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере
долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла
% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере
долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую
% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: + показать
У нас две геометрические прогрессии {
} и {
}:
1) Для компании «Альфа»
Поясним… Раз прибыль составляет 100% капитала, то новый капитал составит удвоенный старый.
Нужно узнать
для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Бетта».



2) Для компании «Бетта» 
Поясни, почему
. Раз по условию прибыль составляет 300%, то новый капитал складывается из старого и утроенного старого, то есть составляет старый капитал, умноженный на 
Нужно узнать
для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Альфа».



3) Итак,
– на столько долларов капитал компании «Бетта» был больше капитала компании «Альфа» к концу 2008 года.
Ответ:

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию
Ответ на задачу 5 не корректный.
1) надо найти на сколько капитал 1 был больше капитала другой, а это – сумма заработка за всех лет (ну и начальный капитал). А вы нашли разницу заработка в 2008 году.
Перечитайте решение ещё раз. Там все верно. Рассматривается разность капиталов