«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия
Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной $630$ метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила $140$ метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение: + показать
В задаче фигурирует арифметическая прогрессия (назовем ее {$a_n$}), так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров. Индекс $n$ отвечает за дни. Само число $a_n$ – количество покрашенных за день метров забора.
Итак, нам известно:
{$a_n$} – арифметическая прогрессия
$a_1+a_n=140;$
$S_n=630$ – сумма первых n членов арифметической прогрессии.
Требуется найти $n$.
Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
$630=\frac{140}{2}\cdot n;$
$n=9;$
Ответ: $9.$
Задача 2. Олегу надо решить $315$ задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил $11$ задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за $9$ дней.
Решение: + показать
Вводим арифметическую прогрессию{$a_n$}:
$a_1=11$ – количество решенных задач в первый день,
$n=9$ – количество дней,
$S_9=315$ – количество решенных задач за все $9$ дней (сумма $9$ первых членов арифметической прогрессии).
Требуется найти $a_9$.
Итак,
$S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;$
$315=\frac{11+a_9}{2}\cdot 9;$
$35=\frac{11+a_9}{2};$
$70=11+a_9;$
$a_9=59.$
Ответ: $59.$
Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел $9$ километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за $9$ дней, а расстояние между городами составляет $189$ километров.
Решение: + показать
Как и в предыдущих задачах имеем дело с арифметической прогрессией.
Нам известно:
$a_1=9,$ $S_9=189.$
Требуется найти $a_5.$
Согласно формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ имеем:
$S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;$
$189=\frac{9+a_9}{2}\cdot 9;$
$42=9+a_9;$
$a_9=33.$
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$ чтобы найти разность $d$:
$a_9=a_1+8d;$
$33=9+8d;$
$d=3.$
Тогда
$a_5=a_1+4d;$
$a_5=9+4\cdot 3;$
$a_5=21.$
Ответ: $21.$
Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере $1000000$ рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $7$% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?
Решение: + показать
Очень многие попадаются на этой задачке, считая, что в ней скрывается арифметическая прогрессия.
Нет, все хитрее. Дело в том, что прибавка прибыли – не одинакова каждый год. Каждый год $7$% от прибыли предыдущего года в пересчет на рубли – разные величины.
В данном случае имеем дело с геометрической прогрессией {$c_n$}.
$c_n$ – прибыль (в рублях) за $n$-ый год ($n=1,\;2,\;3,\;4$, 2000-ый год считаем первым годом прибыли, 2001-ый – вторым и т.д.).
Известно следующее:
$c_1=1000000;$
$q=\frac{107}{100}$
(так как увеличение на 7% – значит увеличение в $\frac{107}{100}$ раз)
Требуется узнать $c_4.$
Согласно формуле n-го члена геометрической прогрессии $c_n=c_1\cdot q^{n-1}$ имеем:
$c_4=c_1\cdot q^3;$
$c_4=1000000\cdot (\frac{107}{100})^3;$
$c_4=1225043$ – прибыль за 2003 год.
Ответ: $1225043.$
Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере $3500$ долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла $100$% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере $4500$ долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую $300$% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: + показать
У нас две геометрические прогрессии {$a_n$} и {$b_n$}:
1) Для компании «Альфа» $a_1=3500,\;q=2.$ Поясним… Раз прибыль составляет 100% капитала, то новый капитал составит удвоенный старый.
Нужно узнать $a_8$ для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Бетта».
$a_8=a_1\cdot q^7;$
$a_8=3500\cdot 128;$
$a_8=448000.$
2) Для компании «Бетта» $b_1=4500,\;q=4.$
Поясни, почему $q=4$. Раз по условию прибыль составляет 300%, то новый капитал складывается из старого и утроенного старого, то есть составляет старый капитал, умноженный на $4.$
Нужно узнать $b_5$ для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Альфа».
$b_5=b_1\cdot q^4;$
$b_5=4500\cdot 256;$
$b_5=1152000.$
3) Итак, $b_5-a_8=1152000-448000=704000$ – на столько долларов капитал компании «Бетта» был больше капитала компании «Альфа» к концу 2008 года.
Ответ: $704000.$
Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию
Ответ на задачу 5 не корректный.
1) надо найти на сколько капитал 1 был больше капитала другой, а это – сумма заработка за всех лет (ну и начальный капитал). А вы нашли разницу заработка в 2008 году.
Перечитайте решение ещё раз. Там все верно. Рассматривается разность капиталов