Задания №11. Задачи на прогрессию

2015-09-04

Среди Заданий №11 могут встретиться  задачи на прогрессию. Если вы подзабыли немного эту тему, то лучше для начала загляните сюда: «Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия.

Смотрите также другие типы Задач №13 ЕГЭ по математике:
1 (на среднюю скорость)2 (на движение по окружности)3 (движение по воде), 4 (на работу), 5 (на движение по прямой), 7 (на смеси и сплавы).

Также смотрите видеолекцию «Текстовые задачи» здесь.
Разберем несколько задач из открытого банка заданий по математике.

Задача 1. 

Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение:

В задаче фигурирует арифметическая прогрессия (назовем ее {a_n}), так как бригада ежедневно увеличивала норму покраски на одно и то же число метров. Индекс n  отвечает за дни. Само число a_n – количество покрашенных за день метров забора.

Итак, нам известно:

{a_n} – арифметическая прогрессия;

a_1+a_n=140;

S_n=630 – сумма первых n членов арифметической прогрессии;

Требуется найти n.

Воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

630=\frac{140}{2}\cdot n;

n=9;

Ответ: 9.

Задача 2. 

Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение: 

Вводим арифметическую прогрессию{a_n}:

a_1=11 – количество решенных задач в первый день;

n=9 –количество дней;

S_9=315 – количество решенных задач за все 9 дней (сумма 9 первых членов арифметической прогрессии);

Требуется найти  a_9.

Итак, S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;

315=\frac{11+a_9}{2}\cdot 9;

35=\frac{11+a_9}{2};

70=11+a_9;

a_9=59;

Ответ: 59.

Задача 3. 

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение:

Как и в предыдущих задачах имеем дело с арифметической прогрессией.

Нам известно:

a_1=9;

S_9=189;

Требуется найти a_5.

Согласно формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n имеем:

S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9;

189=\frac{9+a_9}{2}\cdot 9;

42=9+a_9;

a_9=33;

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии a_n=a_1+(n-1)d чтобы найти  разность d:

a_9=a_1+8d;

33=9+8d;

d=3;

Тогда a_5=a_1+4d;

a_5=9+4\cdot 3;

a_5=21;

Ответ: 21.

Задача 4. 

Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

 

Решение:

Очень многие попадаются на этой задачке, считая, что  в ней  скрывается арифметическая прогрессия.

Нет, все хитрее. Дело в том, что прибавка прибыли – не одинакова каждый год. Каждый год 7% от прибыли предыдущего года  в пересчет на рубли – разные величины.

В данном случае имеем дело с геометрической прогрессией {c_n}.

c_n – прибыль (в рублях) за n-ый год (n=1,\;2,\;3,\;4, 2000-ый год считаем первым годом прибыли, 2001-ый – вторым и т.д.).

Известно следующее:

 c_1=1000000;

q=\frac{107}{100}, так как увеличение на  7%  – значит увеличение в \frac{107}{100} раз.

Требуется узнать c_4.

Согласно формуле n-го члена геометрической прогрессии c_n=c_1\cdot q^{n-1} имеем:

c_4=c_1\cdot q^3;

c_4=1000000\cdot (\frac{107}{100})^3;

c_4=1225043 – прибыль за 2003 год.

Ответ: 1225043.

Задача 5.

Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: 

У нас две геометрические прогрессии {a_n} и {b_n}:

1) Для компании «Альфа» a_1=3500,\;q=2. Поясним… Раз прибыль составляет 100% капитала, то новый капитал составит удвоенный старый.

Нужно узнать a_8 для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Бетта».

a_8=a_1\cdot q^7;

a_8=3500\cdot 128;

a_8=448000;

2) Для компании «Бетта» b_1=4500,\;q=4.

Поясни, почему q=4. Раз по условию прибыль составляет 300%, то новый капитал складывается из старого и утроенного старого, то есть составляет старый капитал, умноженный на 4.

Нужно узнать b_5 для дальнейшего сравнения с прибылью компании «Альфа».

b_5=b_1\cdot q^4;

b_5=4500\cdot 256;

b_5=1152000;

3) Итак, 1152000-448000=704000 – на столько долларов капитал компании «Бетта»  был больше капитала компании «Альфа» к концу 2008 года.

Ответ: 704000.

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию .

 

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif