Диагностическая работа по математике в формате ЕГЭ от 22 апреля 2015 года

Профильный уровень, 15-20

Задания 1-14 (условия) смотрите здесь.

15. а) Решите уравнение $cos2x-3cosx+2=0.$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}].$

Решение:+ показать

16. На ребре $A_1A$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка E так, что $A_1E:EA=5:3$ , на ребре $B_1B$ − точка $F$ так, что $B_1F:FB=5:11$ , а точка $T$ − середина ребра $B_1C_1$ . Известно, что $AB=6\sqrt2,AD=10, A_1A=16$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Решение:+ показать

17. Решите неравенство $\frac{log_{1-2x}((x+1)(1-4x+4x^2))}{log_{x+1}(1-2x)}\leq -1.$

Решение:+ показать

18. Окружность с центром $O$ проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны прямоугольной трапеции $ABCD$ и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$.
а) Докажите, что угол $BOC$ вдвое больше угла  $BTC$.
б) Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$ , если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.

Решение:+ показать

19. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

Решение:+ показать

20. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}2x^2+2y^2=5xy,\\(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4;&\end{cases}$

имеет ровно два решения.

Решение: + показать