Диагностическая работа по математике в формате ЕГЭ от 22 апреля 2015 года

Профильный уровень, 15-20

Задания 1-14 (условия) смотрите здесь.

15. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:+ показать

16. На ребре  прямоугольного параллелепипеда  взята точка E так, что  , на ребре  − точка  так, что  , а точка  − середина ребра  . Известно, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью .

Решение:+ показать

17. Решите неравенство

Решение:+ показать

18. Окружность с центром проходит через вершины и большей боковой стороны прямоугольной трапеции и касается боковой стороны в точке .
а) Докажите, что угол вдвое больше угла  .
б) Найдите расстояние от точки до прямой , если основания трапеции и равны 4 и 9 соответственно.

Решение:+ показать

19. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

Решение:+ показать

20. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение: + показать