28 Янв 2014

Категория: 13 (С1) УравненияЕГЭ (диагностич. работы)Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства

С1 (№15) Тренировочной работы от 28 января 2014 г.

Елена Репина 2014-01-28 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №13»

Разбор заданий части В Тренировочной работы в формате ЕГЭ по математике смотрите здесь. А также есть разбор C2(№16), С3(№17), С4(№18).

С1.

a) Решите уравнение $\frac{2sin^2x-\sqrt3sinx}{2cosx+1}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}].$

Решение:

а) Исходное уравнение равносильно следующей системе:

$\begin{cases} 2sin^2x-\sqrt3sinx=0,& &2cosx+1\neq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} sinx(2sinx-\sqrt3)=0,& &cosx\neq -\frac{1}{2}; \end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{gathered} sinx=0,& sinx=\frac{\sqrt3}{2}; \end{gathered}\right& &cosx\neq -\frac{1}{2}; \end{cases}$

Наносим на тригонометрический круг решения уравнений $sinx=0$ и $sinx=\frac{\sqrt3}{2}$ и видим, что условие $cosx\neq -\frac{1}{2}$ «уничтожает» одну серию корней ( $\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\;m\in Z$ ).

Итак, решение данного уравнения: $\pi n,\;n\in Z;\;\frac{\pi}{3}+2\pi k,\;k\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$ при помощи тригонометрического круга.

В отрезок $[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$ попадают три точки: $2\pi,\;\frac{7\pi}{3},\;3\pi.$

Ответ: а) $\pi n,\;n\in Z;\;\frac{\pi}{3}+2\pi k,\;k\in Z ;$ б) $2\pi,\;\frac{7\pi}{3},\;3\pi.$

Аналогичное задание для самопроверки:

a) Решите уравнение $\frac{2sin^2x-sinx}{2cosx-\sqrt3}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi].$

Ответ: + показать

Автор: egeMax | комментариев 9

Печать страницы

комментариев 9

Дмитрий

2014-01-29 в 12:56

Разве из уравнения sin x=0,5 х=пи/6+2пк,
Х=5пи/6+2пк

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-01-29 в 12:58
  
  Да, из уравнения $sinx=0,5$ следует $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ , где $n\in Z$
  
  [ Ответить ]
Дмитрий

2014-01-29 в 12:57

Тогда в пункте б) у меня получился еще корень 13пи/6

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-01-29 в 13:01
  
  Вы забыли учесть, что $cosx\neq \frac{\sqrt3}{2}.$ (Я так понимаю, речь про задание для самопроверки?).
  
  [ Ответить ]
  - Дмитрий
    
    2014-01-29 в 15:26
    
    Совершенно верно.
    
    [ Ответить ]
Дмитрий

2014-01-29 в 15:27

Скажите, если я написал что корень посторонний, то у меня балл не снимут?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-01-29 в 18:35
  
  Не совсем поняла вопрос… Если корень посторонний, – об этом и надо сказать, а как же… Может, вы что-то другое имели ввиду…
  
  [ Ответить ]
Луи

2014-03-21 в 18:54

Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, почему у вас получается П/3+ 2Пk, у синуса ведь (-1)^k(arcsinx)+Пk
Почему 2Пk, а не Пk???

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2014-03-21 в 21:02
  
  Мы не просто решаем уравнение $sinx=\frac{\sqrt3}{2}$ , но систему!
  У нас $cosx\neq -\frac{1}{2}.$ Корень $\frac{2\pi}{3}+2\pi k$ уничтожается.
  Вообще, решение уравнения $sinx=\frac{\sqrt3}{2}$ – это
  $\frac{\pi}{3}+2\pi k$ , $\frac{2\pi}{3}+2\pi k$ , $k\in Z$
  или, что тоже самое, но короче
  $(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k$ , $k\in Z$ .
  
  [ Ответить ]

С1 (№15) Тренировочной работы от 28 января 2014 г.

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №13»

Добавить комментарий Отменить ответ