С2 (№16) Тренировочной работы от 28 января 2014

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также часть В Тренировочной работы, и задания части С: С1(№15), С3(№17), С4(№18).

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD , рёбра основания которой равны 5\sqrt2. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен \sqrt2, L – середина ребра MB. Найдите высоту данной пирамиды.

Решение:

Напомним,  пирамида правильная, значит в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Покажем, что угол между прямыми AL и DM  – есть угол между прямыми  AL и OL, где O – центр основания ABCD.

Действительно, в треугольнике BMD отрезок LOсредняя линия, а значит, в частности, по свойству средней линии, LO\parallel MD.

Тогда по определению угла между прямыми \angle (DM;AL)=\angle (DM;LO)=\angle ALO.

Заметим, \Delta ALO – прямоугольный (\angle O=90^{\circ}), так  как AO\perp (BMD) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  (AO\perp BD, так как ABCD – квадрат и MO\perp AO так как MO\perp (ABCD)), а значит AO перпендикулярна любой прямой плоскости BMD, в частности, перпендикулярна прямой LO.

Так как по условию tgALO=\sqrt2, то из треугольника ALO

\sqrt2=\frac{AO}{OL}.

При этом, раз сторона основания (квадрата) равна по условию 5\sqrt2, то половина диагонали AO есть 5 (находим, например, из равнобедренного прямоугольного треугольника AOD).

Тогда \sqrt2=\frac{5}{OL}, откуда OL=\frac{5}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{2}.

Наконец, перейдем к прямоугольному треугольнику BMO и найдем  высоту MO пирамиды MABCD.

В треугольнике MBO середина гипотенузы L –  центр описанной окуржности, то есть LO=LM=LB. В частности, BM=5\sqrt2.

Тогда MO=\sqrt{BM^2-BO^2}=\sqrt{(5\sqrt2)^2-5^2}=5.

Ответ: 5.

Аналогичное задание для самопроверки:

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD , рёбра основания которой равны 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен \frac{2}{3}, L – середина ребра MB. Найдите высоту данной пирамиды.

Ответ: + показать

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Дмитрий

    Скажите, пожалуйста,так как в условии сказано про угол между прямыми AL и DM(его тангенс), то как можно было бы решить задачу координатным методом?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Следовало бы найти косинус сначала, ввести систему координат… Этот косинус бы равнялся \frac{\vec{LA}\cdot\vec{DM}}{|\vec{LA}|\cdot |\vec{DM}|}, но здесь это неоправданно.

      [ Ответить ]
      • Anton Maximenko

        Я тригонометрически решал , немного по-другому получилось.

        [ Ответить ]
  2. Василий

    Почему LO средняя линия? Никак не могу понять! Помогите!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      По определению. L -середина одной из сторон (BM) треугольника BMD, O – середина другой (BD).

      [ Ответить ]
      • Василий

        Спасибо!

        [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif