В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также часть В Тренировочной работы, и задания части С: С1(№15), С3(№17), С4(№18).
Дана правильная четырёхугольная пирамида , рёбра основания которой равны
. Тангенс угла между прямыми
и
равен
,
– середина ребра
. Найдите высоту данной пирамиды.
Решение:
Напомним, пирамида правильная, значит в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Покажем, что угол между прямыми и
– есть угол между прямыми
и
, где
– центр основания
Действительно, в треугольнике отрезок
– средняя линия, а значит, в частности, по свойству средней линии,
.
Тогда по определению угла между прямыми
Заметим, – прямоугольный (
), так как
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
, так как
– квадрат и
так как
, а значит
перпендикулярна любой прямой плоскости
, в частности, перпендикулярна прямой
.
Так как по условию , то из треугольника
При этом, раз сторона основания (квадрата) равна по условию , то половина диагонали
есть
(находим, например, из равнобедренного прямоугольного треугольника
).
Тогда , откуда
Наконец, перейдем к прямоугольному треугольнику и найдем высоту
пирамиды
.
В треугольнике середина гипотенузы
– центр описанной окуржности, то есть
. В частности,
.
Тогда
Ответ: 5.
Аналогичное задание для самопроверки:
Дана правильная четырёхугольная пирамида , рёбра основания которой равны
. Тангенс угла между прямыми
и
равен
,
– середина ребра
. Найдите высоту данной пирамиды.
Ответ: + показать
Скажите, пожалуйста,так как в условии сказано про угол между прямыми AL и DM(его тангенс), то как можно было бы решить задачу координатным методом?
Следовало бы найти косинус сначала, ввести систему координат… Этот косинус бы равнялся
, но здесь это неоправданно.
Я тригонометрически решал , немного по-другому получилось.
Почему LO средняя линия? Никак не могу понять! Помогите!
По определению. L -середина одной из сторон (BM) треугольника BMD, O – середина другой (BD).
Спасибо!