С2 (№16) Тренировочной работы от 28 января 2014

Смотрите также часть В Тренировочной работы, и задания части С: С1(№15), С3(№17), С4(№18)

Дана правильная четырёхугольная пирамида $MABCD$ , рёбра основания которой равны $5\sqrt2$. Тангенс угла между прямыми $DM$ и $AL$ равен $\sqrt2$, $L$ – середина ребра $MB$. Найдите высоту данной пирамиды.

Решение:

Напомним,  пирамида правильная, значит в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Покажем, что угол между прямыми $AL$ и $DM$  – есть угол между прямыми  $AL$ и $OL$, где $O$ – центр основания $ABCD.$

Действительно, в треугольнике $BMD$ отрезок $LO$ – средняя линия, а значит, в частности, по свойству средней линии, $LO\parallel MD$.

Тогда по определению угла между прямыми $\angle (DM;AL)=\angle (DM;LO)=\angle ALO.$

Заметим, $\Delta ALO$ – прямоугольный ($\angle O=90^{\circ}$), так  как $AO\perp (BMD)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  $(AO\perp BD$, так как $ABCD$ – квадрат и $MO\perp AO$ так как $MO\perp (ABCD))$, а значит $AO$ перпендикулярна любой прямой плоскости $BMD$, в частности, перпендикулярна прямой $LO$.

Так как по условию $tgALO=\sqrt2$, то из треугольника $ALO$

$\sqrt2=\frac{AO}{OL}.$

При этом, раз сторона основания (квадрата) равна по условию $5\sqrt2$, то половина диагонали $AO$ есть $5$ (находим, например, из равнобедренного прямоугольного треугольника $AOD$).

Тогда $\sqrt2=\frac{5}{OL}$, откуда $OL=\frac{5}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{2}.$

Наконец, перейдем к прямоугольному треугольнику $BMO$ и найдем  высоту $MO$ пирамиды $MABCD$.

В треугольнике $MBO$ середина гипотенузы $L$ –  центр описанной окуржности, то есть $LO=LM=LB$. В частности, $BM=5\sqrt2$.

Тогда $MO=\sqrt{BM^2-BO^2}=\sqrt{(5\sqrt2)^2-5^2}=5.$

Ответ: 5.

Аналогичное задание для самопроверки:

Дана правильная четырёхугольная пирамида $MABCD$ , рёбра основания которой равны $5$. Тангенс угла между прямыми $DM$ и $AL$ равен $\frac{2}{3}$, $L$ – середина ребра $MB$. Найдите высоту данной пирамиды.

Ответ: + показать