Показательные неравенства

2016-03-26

Сегодня решаем показательные неравенства.

Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.

При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

a^{f(x)}>a^{g(x)},\;a>1\quad \quad \Leftrightarrow \quad \;f(x)>g(x)

и

a^{f(x)}>a^{g(x)},\;0<a<1\quad \quad \Leftrightarrow \;\quad f(x)<g(x)

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции y=a^{f(x)}, a>1, второй – в силу убывания функции y=a^{f(x)}, 0<a<1.

 

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1.

Решить неравенство 16^x>0,125.

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

(2^4)^x>\frac{125}{1000};

А далее вот так:

2^{4x}>\frac{1}{8};

2^{4x}>2^{-3};

Так как 2^{f(x)} – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

4x>-3;

x>-\frac{3}{4};

Ответ: (-0,75;+\infty).

Задание 2.

Решить неравенство: 4\cdot 0,5^{x(x+3)}<0,25^{2x};

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

4\cdot 0,5^{x^2+3x}<(0,5^2)^{2x};

Заметим, что  4=(\frac{1}{2})^{-2}=0,5^{-2}.

0,5^{-2}\cdot 0,5^{x^2+3x}<(0,5^2)^{2x};

0,5^{x^2+3x-2}<0,5^{4x};

В силу того, что основание степени (0,5) меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак < на >):

x^2+3x-2>4x;

x^2-x-2>0;

(x+1)(x-2)>0;

x\in(-\infty;-1)\cup (2;+\infty).

Ответ: (-\infty;-1)\cup (2;+\infty).

 Однородные показательные неравенства 

Задание 3.

Решить неравенство: 2^{x}-2^{x-4}>15.

Решение:

Вынесем за скобку 2^{x-4}:

2^{x-4}(2^{4}-1)>15;

2^{x-4}\cdot 15>15;

2^{x-4}>1;

2^{x-4}>2^0;

Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

x-4>0;

x>4;

Ответ: (4;+\infty).

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4.

Решить неравенство 3^{2x+1}-3^{x+2}+6>0.

Решение:

3\cdot 3^{2x}-3^2\cdot 3^x+6>0;

3\cdot (3^x)^2-9\cdot 3^x+6>0;

Разделим обе части неравенства на 3:

(3^x)^2-3\cdot 3^x+2>0;

Мы видим квадратное неравенство относительно 3^x, которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

(3^x-2)(3^x-1)>0;

3^x<1 или 3^x>2;

x<0 или x>log_32;

Ответ: (-\infty;0)\cup (log_32;+\infty).

Задание 5.

Решить неравенство 4^{-x}-12\cdot 2^{-x}+32>0.

Решение:

(2^{-x})^2-12\cdot 2^{-x}+32>0;

Мы видим квадратное неравенство относительно 2^{-x}, которое будем решать методом интервалов.

Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена (2^{-x})^2-12\cdot 2^{-x}+32. Переходим к следующему неравенству:

(2^{-x}-4)(2^{-x}-8)>0;

Получаем: 2^{-x}<4 или 2^{-x}>8. Заметьте, нет смысла указывать, что  0<2^{-x}<4, так как по определению 2^{-x} положительно.

Итак,

\left[\begin{gathered} 2^{-x}<2^2, &  2^{-x}>2^3; \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} -x<2, &  -x>3; \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} x>-2, &  x<-3; \end{gathered}\right&

Ответ: (-\infty;-3)\cup (-2;+\infty).

Задание 6.

Решить неравенство 5\cdot 4^x+2\cdot 25^x\leq 7\cdot 10^x.

Решение:

Разделим обе части неравенства на 4^x (можно и на 25^x, 10^x – как хотите…). Заметим, 4^x>0.

5+2\cdot \frac{(5^2)^x}{(2^2)^x}\leq 7\cdot \frac{(2\cdot 5)^x}{(2^2)^x};

Заметим, что (5^2)^x=(5^x)^2=5^x\cdot 5^x. Аналогично с 4^x.

5+2\cdot \frac{5^x\cdot 5^x}{2^x\cdot 2^x}\leq 7\cdot \frac{2^x\cdot 5^x}{2^x\cdot 2^x};

5+2\cdot ((\frac{5}{2})^x)^2\leq 7\cdot (\frac{5}{2})^x;

2\cdot ((\frac{5}{2})^x)^2-7\cdot (\frac{5}{2})^x+5\leq 0;

Мы имеем квадратное неравенство относительно (\frac{5}{2})^x,

которое будем решать методом интервалов.

Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), где x_1,\;x_2 – корни уравнения ax^2+bx+c=0 (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).

Заготавливаем шаблончик 2((\frac{5}{2})^x-...)((\frac{5}{2})^x-...)\leq 0 и находим корни при помощи дискриминанта, тогда

2((\frac{5}{2})^x-\frac{5}{2})((\frac{5}{2})^x-1)\leq 0;

То есть 1\leq (\frac{5}{2})^x\leq \frac{5}{2};

(\frac{5}{2})^0\leq (\frac{5}{2})^x\leq (\frac{5}{2})^1;

0\leq x\leq 1;

Ответ: [0;1].

Задание 7.

Решить неравенство 2^x+2^{-x+1}-3<0.

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

2^x+2\cdot \frac{1}{2^x}-3<0;

Домножим обе части неравенства на  2^x (заметим, 2^x>0):

(2^x)^2-3\cdot 2^x+2<0;

(2^x-2)(2^x-1)<0;

1<2^x<2;

2^0<2^x<2^1;

0<x<1;

Ответ: (0;1).

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8.

Решить неравенство:  \frac{4}{2^x+2}-\frac{1}{2^x-3}<2.

Решение:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

\frac{4\cdot (2^x-3)-(2^x+2)-2(2^x+2)(2^x-3)}{(2^x+2)(2^x-3)}<0;

\frac{-2\cdot (2^x)^2+5\cdot 2^x-2}{(2^x+2)(2^x-3)}<0;

\frac{2\cdot (2^x)^2-5\cdot 2^x+2}{(2^x+2)(2^x-3)}>0;

\frac{2\cdot (2^x-2)(2^x-\frac{1}{2})}{(2^x+2)(2^x-3)}>0;

Мы можем “отбросить” сумму 2^x+2 в силу ее положительности:

\frac{2\cdot (2^x-2)(2^x-\frac{1}{2})}{2^x-3}>0;

Неравенство равносильно следующему:

(2^x-2)(2^x-\frac{1}{2})(2^x-3)>0;

\left[\begin{gathered} \frac{1}{2}<2^x<2, &  2^x>3; \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} -1<x<1, &  x>log_23; \end{gathered}\right&

x\in (-1;1)\cup (log_23;+\infty).

Ответ: (-1;1)\cup (log_23;+\infty).

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9.

Решить неравенство: 2^x>3-x.

 Решение:

Рассмотрим функции f(x)=2^x и g(x)=3-x. Обе они определены на R. Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения. Несложно заметить, что x=1 является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения x, которые отвечают за ту часть графика f(x), что лежит выше графика g(x), то есть x>1.

Ответ: (1;+\infty).

Для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

1. 16^x>0,125;

Ответ: + показать

2. 36^{0,5x^2-1}\geq (\frac{1}{6})^{-2};

Ответ: + показать

3. 3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}\leq 315;

Ответ: + показать

4. (\frac{1}{4})^x\leq 2^{3-x}-16;

Ответ: + показать

5. 3\cdot 16^x+2\cdot 81^x-5\cdot 36^x>0;

Ответ: + показать

6. 2^{2+x}-2^{2-x}\geq 15;

Ответ: + показать

7. \frac{1}{3^x+5}\leq \frac{1}{3^{x+1}-1};

Ответ: + показать

8. \frac{1}{3^x}<x+11;

Ответ: + показать

 

 

Печать страницы
Комментариев: 10
  1. Ирина

    Перепроверьте решение в задание 4. Там ошибка. Корни у 3^х 2 и 1, а не 2 и -1, как у вас написано.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ирина, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. dmd911

    Может я ошибаюсь, но в 4-м примере по идее 3^x>2 равняется x>log3 2, а не x>log2 3

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо!

      [ Ответить ]
  3. Светлана

    Если возможно,рассмотрите решение вот такого примера :
    (x+1)^(-7/9)>=x^(9/7)+1 .

    [ Ответить ]
    • egeMax

      С условием точно все так?

      [ Ответить ]
  4. WhatDoesItMeanToBeManly

    Первое неравенство для самостоятельной работы совпадает с первым заданием, разобранным выше. Так и задумывалось? :о

    [ Ответить ]
    • WhatDoesItMeanToBeManly

      Еще в ответе для 8 неравенства для самостоятельной работы бесконечность немножко сломалась.

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Спасибо!

        [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо, исправлю в ближайшее время ;)

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif