Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы
13. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение: + показать
a)




или 
или 
б) Отбор корней уравнения из промежутка
при помощи тригонометрического круга:

Ответ:
а) 
б) 
14. В правильной треугольной пирамиде
точка
– середина ребра
, точка
– середина ребра
.
а) Докажите, что прямая
делит высоту
пирамиды в отношении
.
б) Найдите угол между прямой
и плоскостью
, если известно, что 
Решение: + показать

a) Так как пирамида правильная, то проекция вершины
, точка
, – центр треугольника
(точка пересечения медиан).
по свойству медиан.

Проведем
параллельно
(
). По теореме о пропорциональных отрезках
Пусть
Заметим (поскольку
– середина
), 
Далее, опять же, по теореме о пропорциональных отрезках, 
Итак, прямая
делит высоту
пирамиды в отношении
.
б) Угол между прямой
и плоскостью
– есть угол
, так как прямая
– проекция
на плоскость 
Далее,



Наконец, из треугольника
:

Итак, 
Ответ: б) 
15. Решите неравенство: 
Решение: + показать
16. В прямоугольный треугольник
вписана окружность, которая касается гипотенузы
в точке
, а катетов – в точках
и
.
а) Докажите, что площадь треугольника
равна
.
б) Найдите площадь треугольника
, если известно, что 
Решение: + показать

Пусть
, радиус вписанной окружности – 
Пользуясь формулой площади треугольника
(
– полупериметр,
– радиус вписанной окружности) и, используя свойство о равенстве отрезков касательных к окружности, получаем:

С другой стороны,

Тогда

откуда

или 
Итак, 
Что и требовалось доказать.
б)

Используя пункт (а), получаем

А так как при этом
, то
, откуда 


Ответ: б) 
17. В некоторой стране решили провести всенародные выборы правительства. Две трети избирателей в этой стране – городские жители, а одна треть – сельские. Президент должен предложить на утверждение проект состава правительства из 100 человек. Известно, что за проект проголосует столько процентов городских (сельских) жителей, сколько человек из города (села) в предложенном проекте. Какое наименьшее число городских жителей надо включить в проект состава правительства, чтобы за него проголосовало более половины избирателей?
Решение: + показать
Пусть в данной стране
жителей. Согласно условию
из них – городские жители,
– сельские.
Пусть в составе правительства
человек – из города, тогда
– из села.
За проект из числа городских жителей проголосовало
человек.

За проект из числа сельских жителей проголосовало
человек.

Поскольку нас интересует наименьшее число городских жителей, которое надо включить в проект состава правительства, чтобы за него проголосовало более половины избирателей, то



Стало быть, наименьшее значение
равно
. Именно столько городских жителей следует включить в проект состава правительства.
Ответ: 51.
18. Найдите все значения
, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Решение: + показать





Графическая иллюстрация последней системы, а значит и исходного уравнения, в системе координат
:

Заметим, вершина
параболы
, выколотая точка, имеет абсциссу
, а абсцисса точки
, точки пересечения параболы
и прямой
(вторая точка пересечения указанных линий
– выколота, не в счет), имеет абсциссу
.

Становится видно, что только значения
,
дают единственный корень в исходном уравнении.
Ответ:
Большое спасибо за Ваш сайт! ОЧЕНЬ, ОЧЕНЬ, ОЧЕНЬ нужно, полезно, и кстати
Здравствуйте, Елена Юрьевна! Подскажите, пожалуйста, почему Вы из-под корня выносите выражение без модуля? Или Вы просто пропустили эти преобразования т.к. перед корнем стоит +-?
Так если перед модулем стоит
, – какой в этом толк? ;)

Доброго времени суток! Если не решать графически, то как выйти на единицу?
1)
, при этом 


2)
3)
cos(3п/2-x)=-sinx
а у вас в 13 номере в 13 получается +синус
или я что-то не заметил?
а,там же квадрат..
Да, вы не заметили, что -sinx возводится в квадрат, а потому «съедается квадратом» минус…
Здравствуйте! Не могли бы Вы подробнее рассказать, в 18 задании, когда находим х, как подкоренное выражение превратилось в (а^2-3a)
Заранее спасибо!!
Нет, под корнем не a^2-3a, а a^4-6a^3+9a^2, то есть (a^2-3a)^2.
вон оно то! Большое спасибо!