Задание №16 Т/Р №102 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6, а высота 4. Точки K, P, M – середины ребер AB, BC, SD.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, M, P.

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение: 

а) Пусть прямая KP пересекается с прямыми AD и  DC в точках T и R соответственно.

Прямая MR, лежащая в плоскости грани DCS, пересекается с ребром CS в точке L.

Прямая MT, лежащая в плоскости грани ADS, пересекается с ребром AS в точке N.

Пятиугольник NMLPKискомое сечение.

б) Проекция NMLPK на плоскость основания пирамиды – пятиугольник N_1M_1L_1PK.

Площадь сечения пирамиды будем искать через площадь его проекции:

S_{NMLPK}=\frac{S_{N_1M_1L_1PK}}{cos\alpha},

где \alpha – угол между плоскостями сечения и основания пирамиды.

Заметим, \alpha =\angle MYM_1, где Y – середина KP.

Заметим, диагональ основания есть \sqrt{6^2+6^2}, то есть 6\sqrt2.

Треугольники TAN_1 и TWM_1  (где W – середина  AD) подобны. Коэффициент подобия – TA:TW=1:2.

Тогда AN_1=\frac{WM_1}{2}=\frac{\frac{AO}{2}}{2}=\frac{3\sqrt2}{4}.

Стало быть, ON_1=AO-AN_1=3\sqrt2-\frac{3\sqrt2}{4}=\frac{9\sqrt2}{4}.

S_{KPL_1M_1N_1}=S_{KPL_1N_1}+S_{N_1L_1M_1}=\frac{KP+N_1L_1}{2}\cdot OY+\frac{N_1L_1\cdot OM_1}{2}=

=\frac{3\sqrt2+\frac{9\sqrt2}{2}}{2}\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{\frac{9\sqrt2}{2}\cdot \frac{3\sqrt2}{2}}{2}=\frac{45}{4}+\frac{27}{4}=\frac{72}{4}=18.

В  треугольнике YM_1M     MM_1=\frac{OS}{2}=2.

cos\alpha =\frac{YM_1}{YM}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt{(3\sqrt2)^2+2^2}}=\frac{3}{\sqrt{11}}.

Наконец,

S_{NMLPK}=\frac{18}{\frac{3}{\sqrt{11}}}=6\sqrt{11}.

Ответ: 6\sqrt{11}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Анатолий

    Добрый день!Возможно опечатка:в третьей строке с конца: ММ1=ОМ\2=2, вместо ОМ написать OS?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анатолий, спасибо!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif