Задание №16 Т/Р №102 А. Ларина

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равна 6, а высота 4. Точки $K$, $P$, $M$ – середины ребер $AB$, $BC$, $SD$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $K$, $M$, $P$.

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение: 

а) Пусть прямая $KP$ пересекается с прямыми $AD$ и  $DC$ в точках $T$ и $R$ соответственно.

Прямая $MR$, лежащая в плоскости грани $DCS$, пересекается с ребром $CS$ в точке $L$.

Прямая $MT$, лежащая в плоскости грани $ADS$, пересекается с ребром $AS$ в точке $N$.

Пятиугольник $NMLPK$ – искомое сечение.

б) Проекция $NMLPK$ на плоскость основания пирамиды – пятиугольник $N_1M_1L_1PK.$

Площадь сечения пирамиды будем искать через площадь его проекции:

$S_{NMLPK}=\frac{S_{N_1M_1L_1PK}}{cos\alpha},$

где $\alpha$ – угол между плоскостями сечения и основания пирамиды.

Заметим, $\alpha =\angle MYM_1,$ где $Y$ – середина $KP.$

Заметим, диагональ основания есть $\sqrt{6^2+6^2}$, то есть $6\sqrt2.$

Треугольники $TAN_1$ и $TWM_1$  (где $W$ – середина  $AD$) подобны. Коэффициент подобия – $TA:TW=1:2$.

Тогда $AN_1=\frac{WM_1}{2}=\frac{\frac{AO}{2}}{2}=\frac{3\sqrt2}{4}.$

Стало быть, $ON_1=AO-AN_1=3\sqrt2-\frac{3\sqrt2}{4}=\frac{9\sqrt2}{4}.$

$S_{KPL_1M_1N_1}=S_{KPL_1N_1}+S_{N_1L_1M_1}=\frac{KP+N_1L_1}{2}\cdot OY+\frac{N_1L_1\cdot OM_1}{2}=$

$=\frac{3\sqrt2+\frac{9\sqrt2}{2}}{2}\cdot \frac{3\sqrt2}{2}+\frac{\frac{9\sqrt2}{2}\cdot \frac{3\sqrt2}{2}}{2}=\frac{45}{4}+\frac{27}{4}=\frac{72}{4}=18.$

В  треугольнике $YM_1M$     $MM_1=\frac{OS}{2}=2.$

$cos\alpha =\frac{YM_1}{YM}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt{(3\sqrt2)^2+2^2}}=\frac{3}{\sqrt{11}}.$

Наконец,

$S_{NMLPK}=\frac{18}{\frac{3}{\sqrt{11}}}=6\sqrt{11}.$

Ответ: $6\sqrt{11}.$