Задание №15 Т/Р №223 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$\large \frac{log_8x}{log_2(1+2x)}\leq \frac{log_2\sqrt[3]{1+2x}}{log_2x}.$

Решение:

$\large \frac{log_8x}{log_2(1+2x)}\leq \frac{log_2\sqrt[3]{1+2x}}{log_2x};$

$\large \frac{log_2x}{3log_2(1+2x)}\leq \frac{log_2(1+2x)}{3log_2x};$

$log_{(1+2x)}x\leq log_x(1+2x);$

$\large log_{(1+2x)}x\leq \frac{1}{log_{1+2x}x};$

$\large \frac{(log_{(1+2x)}x)^2-1}{log_{1+2x}x}\leq 0;$

$\large \frac{(log_{(1+2x)}x-1)(log_{(1+2x)}x+1)}{log_{(1+2x)}x}\leq 0;$

Используем при решении метод замены множителей:

$\large \begin{cases}\frac{(1+2x-1)(x-(1+2x))(1+2x-1)(x-\frac{1}{1+2x})}{(1+2x-1)(x-1)}\leq 0,\\\normalsize 1+2x>0,\\\normalsize x>0,\\\normalsize 1+2x\neq 1;&\end{cases}$

$\large \begin{cases}
\frac{4x^2(x+1)(x+2x^2-1)}{2x(x-1)(1+2x)}\geq 0,\\\normalsize x>0,&
\end{cases}$

$\large\begin{cases}
\frac{x(x+1)^2(x-0,5)}{(x-1)(1+2x)}\geq 0,\\\normalsize x>0,&
\end{cases}$

$x\in(0;0,5]\cup (1;+\infty).$

Ответ: $(0;0,5]\cup (1;+\infty).$