Задание №16 Т/Р №223 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

16. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Радиус $AO$ перпендикулярен радиусу $OB,$ а радиус $OC$ перпендикулярен радиусу $OD.$

а) Докажите, что $BC \parallel AD.$

б) Найдите площадь треугольника $AOB,$ если длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AD,$ равна $9,$ а длина отрезка $BC$ в два раза меньше длины отрезка $AD.$

Решение:

a) Пусть $\angle OAB=\alpha.$

Треугольник $AOB$ – прямоугольный, равнобедренный. Значит, $\angle BAO=\angle OBA=45^{\circ}.$

Треугольник $AOD$ – равнобедренный, $\angle ODA=\alpha,\angle AOD=180^{\circ}-2\alpha.$

$\angle BOC=360^{\circ}-2\cdot 90^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)=2\alpha.$

Треугольник $BOC$ – равнобедренный, $\angle CBO=\angle BCO=90^{\circ}-\alpha.$

Наконец, $\angle ABC+\angle BAD=(45^{\circ}+90^{\circ}-\alpha)+(45^{\circ}+\alpha)=180^{\circ},$ углы $ABC,BAD$ – внутренние односторонние при прямых $BC,AD$ и секущей $AB.$ По признаку параллельности прямых $BC\parallel AD.$

б) Раз трапеция вписана в окружность, – она равнобедренная. Пусть $H_1,H_2$ – середины оснований $BC,AD.$ Тогда $H_1H_2\perp BC$ и $H_1H_2$ – расстояние от точки $C$ до $AD.$

Пусть $BH_1=x,$ тогда $AH_2=2x.$ Пусть $OH_2=y,$  тогда $OH_1=9-y.$

Из треугольника $AOH_2:$

$tg\alpha=\frac{y}{2x}.$

Из треугольника $BOH_1:$

$tg\alpha=\frac{x}{9-y}.$

Тогда

$\frac{y}{2x}=\frac{x}{9-y};$

$2x^2=9y-y^2$  (1)

Из треугольника $AOH_2:$

$AO^2=4x^2+y^2.$

Из треугольника $BOH_1:$

$BO^2=x^2+(9-y)^2.$

Тогда

$4x^2+y^2=x^2+(9-y)^2;$

$x^2=27-6y$  (2)

Подставим (2) в (1):

$54-12y=9y-y^2;$

$y^2-21y+54=0;$

$y=\frac{21\pm 15}{2};$

 $y=3$

($y=18$ не подходит по условию).

Откуда $x=3,$ тогда $AO=\sqrt{4x^2+y^2}=\sqrt{45}.$

Наконец,

$S_{AOB}=\frac{AO^2}{2}=\frac{45}{2}=22,5.$

Ответ: $22,5.$