Задание №15 Т/Р №176 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19  Тренировочной работы №176 А. Ларина

15. Решите неравенство $\large\frac{(2^x-2)^3}{2^{x+2}-12}\geq \frac{8^x-4^{x+1}+2^{x+2}}{9-4^x}.$

Решение:

$\large \frac{(2^x-2)^3}{2^{x+2}-12}\geq \frac{8^x-4^{x+1}+2^{x+2}}{9-4^x};$

$\large \frac{(2^x-2)^3}{4\cdot 2^{x}-12}\geq \frac{2^{3x}-4\cdot 2^{2x}+4\cdot 2^{x}}{9-2^{2x}};$

$\large \frac{(2^x-2)^3}{4(2^{x}-3)}-\frac{2^{x}(2^{2x}-4\cdot 2^{x}+4)}{(3-2^{x})(3+2^x)}\geq 0;$

$\large \frac{(2^x-2)^3(2^x+3)+4\cdot 2^{x}(2^x-2)^2}{4(2^{x}-3)}\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-2)^2((2^x-2)(2^x+3)+4\cdot 2^{x})}{4(2^{x}-3)}\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-2)^2(2^{2x}+5\cdot 2^{x}-6)}{2^{x}-3}\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-2)^2(2^x+6)(2^x-1)}{2^{x}-3}\geq 0;$

Замечая, что $2^x+6>0$ для любых $x,$ получаем:

$\large\frac{(2^x-2)^2(2^x-1)}{2^{x}-3}\geq 0;$

$\large\frac{(2^x-2^1)^2(2^x-2^0)}{2^{x}-2^{log_23}}\geq 0;$

Применяя метод рационализации, получаем:

$\large\frac{(x-1)^2(x-0)}{x-log_23}\geq 0;$

$\large\frac{x(x-1)^2}{x-log_23}\geq 0;$

$x\in (-\infty;0]\cup ${$1$}$\cup (log_23;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;0]\cup ${$1$}$\cup (log_23;+\infty).$