Наверняка вы помните формулу площади треугольника через три известные стороны
и
– формулу Герона:
,
где – полупериметр.
Так вот есть очень похожая формула для площади четырехугольника – формула Брахмагупты. Но вот если формула Герона работает для произвольного треугольника (около него всегда можно описать окружность), то формула Брахмагупты – только для вписанного в окружность четырехугольника.
Итак, вот формула площади вписанного в окружность четырехугольника со сторонами
и
:
где – полупериметр.
Доказательство:
Пусть нам дан вписанный четырехугольник со сторонами
,
,
и
.
Обозначим угол при вершине за
. Тогда, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна
, то
.
Откуда
(*)
Теперь дважды применим теорему Косинусов – сначала к треугольнику , затем к треугольнику
, помня о том, что
:
Откуда
Вернемся к (*):
Наконец,
Что и требовалось доказать.
Применение формулы Брахмагупты можно посмотреть, например, в этой задаче или здесь.
А она есть в школьном учебнике? Я не видел в своём. Законно ли использовать данную формулу на егэ без доказательства?
Есть, например, в учебнике А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик для 8-го класса, но, опять же, она там не доказана, а предложена для с/р…
Вряд ли вообще придется с ней столкнуться на ЕГЭ…