Формула Брахмагупты

Наверняка вы помните формулу площади треугольника через три известные стороны $a,$ $b$ и $c$ – формулу Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

где $p$ – полупериметр.

Так вот есть очень похожая формула для площади четырехугольника – формула Брахмагупты. Но вот если формула Герона работает для произвольного треугольника (около него всегда можно описать окружность), то формула Брахмагупты – только для вписанного в окружность четырехугольника.

Итак, вот формула площади вписанного в окружность четырехугольника со сторонами $a,$ $b,$ $c$ и $d$:

$\color{red}S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$

где $\color{red}p$ – полупериметр.

Доказательство:

Пусть нам дан вписанный четырехугольник $ABCD$ со сторонами $a$, $b$, $c$ и $d$.

Обозначим угол при вершине $A$ за $\alpha$. Тогда, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{\circ}$, то $\angle C=180^{\circ}-\alpha$.

$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}ad\ sin\alpha+\frac{1}{2}bc\sin (180^{\circ}-\alpha)=$

$=\frac{1}{2}\sin \alpha (ad+bc).$

Откуда

$S_{ABCD}^2=\frac{1}{4}\sin^2\alpha (ad+bc)^2=\frac{1}{4}(1-\cos^2\alpha) (ad+bc)^2$      (*)

Теперь дважды применим теорему Косинусов  – сначала к треугольнику $ABD$, затем к треугольнику $BCD$, помня о том, что $\cos (180^{\circ}-\alpha)=-\cos \alpha$:

$BD^2=a^2+d^2-2ad\ cos\alpha=b^2+c^2+2bc\ cos\alpha.$

Откуда

$\cos \alpha(2ad+2bc)=a^2+d^2-b^2-c^2;$

$\cos \alpha=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$

Вернемся к (*):

$S_{ABCD}^2=\frac{1}{4}(1-\cos^2\alpha) (ad+bc)^2=\frac{1}{4}(1-(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)})^2)(ad+bc)^2=$

$=\frac{1}{4}(1-\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)})(1+\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)})(ad+bc)^2=$

$=\frac{(2ad+2bc-a^2-d^2+b^2+c^2)(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)(ad+bc)^2}{16(ad+bc)^2}=$

$=\frac{((b+c)^2-(a-d)^2)((a+d)^2-(b-c)^2)}{16}=$

$=\frac{((b+c)-(a-d))((b+c)+(a-d))((a+d)-(b-c))((a+d)+(b-c))}{16}=$

$=\frac{(2p-2a)(2p-2d)(2p-2b)(2p-2c)}{16}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).$

Наконец,

$S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Что и требовалось доказать.

Применение формулы Брахмагупты можно посмотреть, например, в этой задаче или здесь.