Формула Брахмагупты

2016-09-21

Наверняка вы помните формулу площади треугольника через три известные стороны a, b и c – формулу Герона:

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

где p – полупериметр.

Так вот есть очень похожая формула для площади четырехугольника – формула Брахмагупты. Но вот если формула Герона работает для произвольного треугольника (около него всегда можно описать окружность), то формула Брахмагупты – только для вписанного в окружность четырехугольника.

Итак, вот формула площади вписанного в окружность четырехугольника со сторонами a, b, c и d:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},

где p – полупериметр.

Доказательство:

Пусть нам дан вписанный четырехугольник ABCD со сторонами a, b, c и d.

Обозначим угол при вершине A за \alpha. Тогда, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180^{\circ}, то \angle C=180^{\circ}-\alpha.

S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}ad\ sin\alpha+\frac{1}{2}bc\sin (180^{\circ}-\alpha)=

=\frac{1}{2}\sin \alpha (ad+bc).

Откуда

S_{ABCD}^2=\frac{1}{4}\sin^2\alpha (ad+bc)^2=\frac{1}{4}(1-\cos^2\alpha) (ad+bc)^2      (*)

Теперь дважды применим теорему Косинусов  – сначала к треугольнику ABD, затем к треугольнику BCD, помня о том, что \cos (180^{\circ}-\alpha)=-\cos \alpha:

BD^2=a^2+d^2-2ad\ cos\alpha=b^2+c^2+2bc\ cos\alpha.

Откуда

\cos \alpha(2ad+2bc)=a^2+d^2-b^2-c^2;

\cos \alpha=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.

Вернемся к (*):

S_{ABCD}^2=\frac{1}{4}(1-\cos^2\alpha) (ad+bc)^2=\frac{1}{4}(1-(\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)})^2)(ad+bc)^2=

=\frac{1}{4}(1-\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)})(1+\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)})(ad+bc)^2=

=\frac{(2ad+2bc-a^2-d^2+b^2+c^2)(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)(ad+bc)^2}{16(ad+bc)^2}=

=\frac{((b+c)^2-(a-d)^2)((a+d)^2-(b-c)^2)}{16}=

=\frac{((b+c)-(a-d))((b+c)+(a-d))((a+d)-(b-c))((a+d)+(b-c))}{16}=

=\frac{(2p-2a)(2p-2d)(2p-2b)(2p-2c)}{16}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.

Наконец,

S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.

Что и требовалось доказать.

Применение формулы Брахмагупты можно посмотреть, например, в этой задаче или здесь.

 

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Дима

    А она есть в школьном учебнике? Я не видел в своём. Законно ли использовать данную формулу на егэ без доказательства?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Есть, например, в учебнике А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик для 8-го класса, но, опять же, она там не доказана, а предложена для с/р…
      Вряд ли вообще придется с ней столкнуться на ЕГЭ…

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif